Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei Ereignisse verschieden sind

19.06.2017, 19:07

igor789

Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei Ereignisse verschieden sind

Guten Tag,
ich habe gerade folgende Frage: Seien $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,...,X_n \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen, mit jeweils drei möglichen Ausgängen Q,P und R mit Wahrscheinlichkeiten q,p,r. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass, für $\begin{eqnarray*} n>=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_1,X_2,X_3 \end{eqnarray*}$ verschieden sind? Ich würde auf den ersten Blick sagen, es gibt sechs verschieden Art und Weisen wie Q,P,R auf den ersten 3 Variablen verteilt sind, also $\begin{eqnarray*} 6*(qpr) \end{eqnarray*}$ .
Oder muss man noch die n-3 restlichen Variablen miteinbeziehen? Das würde ja heissen, dass mit wachsendem n es viel mehr Möglichkeiten gibt, wie am Anfang Q,P und R verteilt sind und dementsprechend die Wahrscheinlichkeit dafür erhöht wird? Ist das richtig?

19.06.2017, 20:33

Dopap

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demnach sind alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ identisch verwirrt

Geht es darum, dass in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Versuchen die ersten 3 Versuche das Ereignis $\begin{eqnarray*} \{P,Q,R\} \end{eqnarray*}$ liefern verwirrt

bitte präzisieren.

19.06.2017, 20:56

igor789

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So ist es

19.06.2017, 23:08

Dopap

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die restlichen Versuche sind ohne Bedeutung.

Du kannst jetzt einen pragmatischen Spielbaum ansetzen mit
1.) der erste Versuch ist wurst, sei das obdA $\begin{eqnarray*} \{P\} \end{eqnarray*}$ , dann weiter mit
2.) der 2. Zug besteht aus $\begin{eqnarray*} \{P\}^c = \{Q,R\} \end{eqnarray*}$ und zuletzt
3.) der 3. Zug ist dann $\begin{eqnarray*} \{P,Q\}^c \dot \cup \{P,R\}^c \end{eqnarray*}$

was die übriggebliebene Möglichkeit darstellen soll. Schreibfigur ohne Garantie !

oder

du zählst die Permutationen von $\begin{eqnarray*} \{P,Q,R\} \end{eqnarray*}$ wie geschehen mit $\begin{eqnarray*} p(\{[P,Q,R]\})=pq(1-p-q) \end{eqnarray*}$

20.06.2017, 00:00

igor789

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ok, hab mir schon gedacht, dass der Gedanke Quatsch war. Vielen Dank Wink

20.06.2017, 08:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von igor789
Oder muss man noch die n-3 restlichen Variablen miteinbeziehen? Das würde ja heissen, dass mit wachsendem n es viel mehr Möglichkeiten gibt, wie am Anfang Q,P und R verteilt sind und dementsprechend die Wahrscheinlichkeit dafür erhöht wird?

Eine entsprechend dazu passende Frage wäre, ob alle drei Ausgänge Q,P,R unter $\begin{align*} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{align*}$ jeweils mindestens einmal vorkommen. Das geschieht gemäß Siebformel mit Wahrscheinlichkeit

$\begin{align*} 1-(p+q)^n-(p+r)^n-(q+r)^n+p^n+q^n+r^n \end{align*}$ ,

speziell für $\begin{align*} n=3 \end{align*}$ kommmt da unter Berücksichtigung von $\begin{align*} r=1-p-q \end{align*}$ natürlich dasselbe raus wie oben, also $\begin{align*} 6pqr \end{align*}$ .

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