Ringe und Moduln

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Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »
Ringe und Moduln
Meine Frage:
Hallo,

Wir sind momentan beim Kapitel Ringe und Moduln (Lineare Algebra 2)
Und ich tue mich schwer bzw verstehe nicht so ganz was ich unter Faktorringen bzw diesem Restklassenring verstehen soll.


Meine Ideen:
Bei also Z modulu n Z konnte ich es mir noch gut vorstellen. Hier haben wir dann z.B 3 Elemente. 0,1 und 2 . Das sind meine Restklassen und alle anderen Zahlen wie zb 8 gehört in dem Fall zur Restklasse 2. D.h alle ganzen "überflüssigen" Zahlen werden quasi zusammengefasst in Restklassen.
Aber was kann ich mir beispielsweise hier darunter vorstellen :

Irgendwas passiert aufjedenfall mit den Polynomen über den Körper Q. Wie bzw was sind denn meine Restklassen hier ? Bzw was genau hier wird als "gleich" gewertet..Polynome der Form (X^2-2X+6) ?
Oder noch ein Beispiel. Eine Abbildung ist ein Ringhomomorphismus.
Dann gibt es einen Ringiso. mit


Ist
mein Ring ohne die Kernelemente aus der Abb ?
Ich hoffe ihr versteht woraus ich hinaus will bzw. wo mein Denkfehler noch ist und könnt mir helfen,wäre sehr dankebarsmile

Grüße
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe und Moduln
Zitat:
Original von Mathematicax33
Aber was kann ich mir beispielsweise hier darunter vorstellen :

Ein Prof meinte früher mal "Lösen Sie sich von der Vorstellung, sich alles vorstellen zu können. Augenzwinkern

Es ist das gleiche Prinzip wie bei den Restklassenringen Z/nZ. Dabei werden alle Zahlen, die bei Division durch n den gleichen Rest "lassen", zusammengefasst zu einer Äquivalenzklasse, die ihrerseits dann ein Element des dabei entstehenden Restklassenrings bildet. Soweit ist dir das bekannt, wenn ich dich richtig verstanden habe?

Nichts anderes passiert bei Konstrukten wie . Hierbei werden anstelle aller ganzen Zahlen eben alle Polynome mit Koeffizienten aus betrachtet. Dividiert man ein solches Polynom durch das Polynom , wird auch hier betrachtet, welcher Rest verbleibt. Und alle Polynome, die bei Division durch den gleichen Rest ergeben, bilden eine Restklasse. Genau wie bei beim Beispiel Z/nZ, wo alle Zahlen, die bei Division durch n den gleichen Rest lassen, eine Restklasse bilden. Die Menge all dieser Restklassen bildet mit den entsprechenden Verknüpfungen den Faktorring . Das ist komplett die selbe Geschichte, nur anstellle mit Zahlen eben mit Polynomen.

Zitat:
Original von Mathematicax33
Oder noch ein Beispiel. Eine Abbildung ist ein Ringhomomorphismus.
Dann gibt es einen Ringiso. mit


Ist
mein Ring ohne die Kernelemente aus der Abb ?

Nein.

Das Symbol "/" steht nicht für "ohne". Das wäre das Symbol "\". Das ist etwas völlig anderes. Das "/" steht für "modulo". Mit ist auch wieder ein Faktorring gemeint. ist R ein Ring und f ein Ringhomomorphismus, dann ist der Kern von f, geschrieben ker(f), immer ein Ideal. Lies dir dazu vielleicht nochmal durch, wie überhaupt ein Fakorring definiert ist.
Mathematicax33 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe und Moduln
Och Gott, danke dir sehr ! smile Verstanden ! Tanzen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Mengenlehre lernt man, dass eine Quotientenmenge die Menge der Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation ist. In der linearen Algebra betrachtet man für einen Untervektorraum U<V den Faktorraum V/U der Klassen von Vektoren, deren Differenz in U liegt. Das ist ein Beispiel für eine Faktormenge mit derselben algebraischen Struktur wie die Menge selbst, denn jeder Vektorraum ist abelsch, also jeder UVR ein Normalteiler. Für eine Untergruppe H<G einer Gruppe G kann man genau dann die Quotientenmenge G/H als Gruppe auffassen, wenn H ein Normalteiler von G ist. Bei Ringen ist die Situation ähnlich, für einen Teilring I<R ist die Quotientenmenge R/I genau dann ein Ring, wenn I ein Ideal ist. Der Quotientenring ist genau dann ein Körper, wenn I ein maximales Ideal ist. ist ein algebraischer Zahlkoerper mit . Äquivalenzrelationen, deren Quotientenmenge dieselbe algebraische Struktur tragen wie die Menge selbst, heißen Kongruenzrelationen. Die Kongruenzrechnung in ganzrationalen Zahlen ist dafür nur ein erstes und wichtiges Beispiel. Für ein tieferes Verständnis von Quotientenstrukturen muss man Homomorphiesaetze und Isomorphiesaetze studieren.
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