Darstellungsmatrix aufstellen

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Mathlete1 Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix aufstellen
Meine Frage:
U3= span{m_0,...,m_3}=Pol_3(R) mit den Monomabbildungen m_i: x -> x^i
U4= {(x_1, x_2, x_3)^T Element R^3|x_1+x_2+x_3=0}

Eine lineare Abbildung F: U3 -> U4 sei durch F(m_i)=(i, -i+1, -1)^T für i=0,1,2,3 definiert. Wählen Sie eine Basis B3 von U3 und eine Basis B4 von U4 und bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von F.

Meine Ideen:
Wenn man die Monome in F einsetzt, folgt:
F(m_0)=(0,1,-1), F(m_1)=(1,0,-1), F(m_2)=(2,-1,-1), F(m_3)=(3,-2,-1). Man kann also jedes F = a x F(m_0)+b x F(m_1)+c x F(m_2)+d x F(m_3) darstellen. -> also ist F(m_i) eine Basis von U3.

Was ich mich nun frage: Sind die Vektoren, die ich rausbekommen habe nicht schon die Darstellungsmatrix? Da wenn man diese wie in U4 addiert, kommt immer 0 raus. Also sind die Vektoren doch schon in Abhängigkeit von U3 und U4 und somit die Matrix?

Ich freue mich über jede Hilfe! smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellungsmatrix aufstellen
Zitat:
Original von Mathlete1
also ist F(m_i) eine Basis von U3.


Das kann doch gar nicht sein, denn die liegen in und nicht in .

ist definiert als der von den vier linear unabhängigen Elementen definierte Unterraum des Polynomvektorraums. Es bietet sich daher an, ja wird einem geradezu aufgedrängt, diese als Basis von zu nehmen.

Jetzt brauchst du noch eine Basis von . Dieser Vektorraum ist zweidimensional (ist dir das klar?). Man braucht daher nur zwei linear unabhängige Elemente in zu wählen, und schon hat man eine Basis. Um es möglichst einfach zu haben, kann man



dafür nehmen. Beide Elemente liegen offenbar in und sind (offenbar) linear unabhängig. (Ich sage immer wieder "offenbar", aber vielleicht ist dir das gar nicht so offensichtlich. Dann frage nach.)

Du hast schon bestimmt. Jetzt mußt du diese Elemente als Linearkombinationen der Basis von , also von darstellen. Für mache ich dir das einmal vor:



Man kann jetzt formal rechnen - oder ein bißchen nachdenken. Nur kann für die erste Koordinate einen Beitrag liefern (denn von ist ja die erste Koordinate 0). Also nimmt man . Entsprechend kann nur einen Beitrag für die dritte Koordinate liefern (denn von ist die dritte Koordinate 0). Also nimmt man . Und wenn man das zusammenfügt, sollte das jetzt auch für die zweite Koordinate hinhauen:



Und damit haben wir



Wir haben jetzt das Bild des dritten Basisvektors von als Linearkombination der Basis von geschrieben. Damit liegt die dritte Spalte der Darstellungsmatrix fest:



Und ganz auf dieselbe Art mußt du jetzt die anderen Spalten der Matrix auffüllen.
Mathlete1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellungsmatrix aufstellen
Danke, dass du mir so nett geholfen hast! Super erklärt! Freude

Ich hatte mich heute Nachmittag nochmal mit der Aufgabe auseinander gesetzt und das mit der Basis F(m_i) ist quatsch. Auch alles andere habe ich verstanden! smile Nur das man die Darstellungsmatrix aufstellen muss, hatte mich gerade kurz verwirrt, da mein Tutor heute meinte, dass die Darstellungsmatrix schon die Vektoren aus F(m_i) sind, aber das scheint mir nun auch nicht mehr logisch und er wird sich da bestimmt vertan haben.

Ich komme jetzt auf die Matrix mit der ersten Zeile (0, 1, 2, 3) und als zweite Zeile (1,1,1,1).

Danke nochmal!
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