Surjektive lineare Abbildung mit Unbekannten a,b

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WiMa123 Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektive lineare Abbildung mit Unbekannten a,b
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,
ich komme mit einer Aufgabe überhaupt nicht weiter und finde auch keine neuen Ansätze mehr. Ich hoffe, dass mir dabei jemand helfen kann.

Es seien . Weiter Seien die -Vektorräume


gegeben.

Bestimme alle a und b, für die es eine surjektive lineare Abbildung gibt.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass und ist. Wegen , ist f genau dann surjektiv, wenn Rang(f)=dim(U_2)=a*b.

Nach dem Rangsatz gilt
dim(U_1)=dim(Kern(f))+Rang(f))
d.h. in diesem Fall gilt
15 = dim(Kern(f))+a*b

Hier komme ich aber jetzt nicht weiter. Kann man irgendwas über dim(Kern(f)) aussagen? Oder muss ich davon ausgehen, dass ist? Dann wiederum müsste ich ja 15 verschiedene Fälle prüfen, für die es jeweils ein paar a bzw. b gibt. Das erscheint mir aber nicht richtig zu sein.

Latex korrigiert. Guppi12
C3P0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektive lineare Abbildung mit Unbekannten a,b
Hallo,
das, was du bisher gemacht hast, ist vollkommen richtig, du denkst dann am Ende nur nicht in die richtige Richtung.
Ich glaube, du machst es dir ein wenig zu kompliziert bzw. du übersiehst das eigentlich Wesentliche.

Stelle dir zuerst mal folgende Frage:

Seien zwei endlichdimensionale Vektorräume mit und . Unter welchen Bedingungen (an und ) gibt es eine surjektive lineare Abbildung von nach ?

Der Dimensionssatz, den du ja schon erwähnt hast, hilft dir hier weiter, ein klein wenig mehr ist dann noch zu tun.
Wenn du die Frage beantwortet hast, dann hast du die Antwort eigentlich fast schon stehen (mit dem, was du bisher gemacht hast).

LG
WiMa123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektive lineare Abbildung mit Unbekannten a,b
Vielen Dank für die Antwort!

Meine einzige Bedingung an m und n muss sein, dass m <= n, oder?. Denn jedes Element der Zielmenge (W) wird mindestens einmal als Funktionswert angenommen. Also kann m doch nicht größer n sein, da die Abbildung dann nicht mehr surjektiv wäre. Oder denke ich nun in die falsche Richtung?
Ich verstehe nicht ganz, worauf du hinaus möchtest.

LG
WiMa123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektive lineare Abbildung mit Unbekannten a,b
Sorry, natürlich muss gelten. Es ist dann


Und Kern(f) ist ja das Urbild von {0} unter f. Aber was ist das hier in meiner gegebenen Abbildung? Allgemein ist ja
Kern(f):={v in V | f(v)=0}.
C3P0 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektive lineare Abbildung mit Unbekannten a,b
Richtig, es muss sein. Allerdings funktioniert deine Begründung bisher nur in die eine Richtung, nämlich:
FALLS es eine surjektive lineare Abbildung von gibt, DANN ist und damit .

Wir werden noch die umgekeherte Richtung brauchen: Falls ist, dann gibt es eine surjektive lineare Abbildung .
Das musst du dir noch überlegen.

Wir wollen diese Aussage ja auf dein konkretes Beispiel anwenden. Mit dem, was du bisher hast, könnten wir nur ein Ergebnis der folgenden Form produzieren:
"Falls es eine surjektive lineare Abbildung gibt, dann gilt.... (irgendetwas für a und b)".
Aber das heißt aber umgekehrt noch lange nicht, dass eine solche Abbildung auch wirklich existiert, falls deine Bedingungen an a und b erfüllt sind. Dazu brauchst du oben noch die Rückrichtung.
WiMa123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektive lineare Abbildung mit Unbekannten a,b
Vielen Dank für deine Geduld und diese Erklärungen. Ich denke, ich habe die Aufgabe jetzt verstanden und richtig gelöst!

LG
 
 
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