Funktionsgleichung Sektglas |
| 23.06.2017, 22:29 | rlynova | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktionsgleichung Sektglas Hallo, für eine Facharbeit muss ich, um das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen, die Funktionsgleichung eines Sektglases aufstellen. Meine Ideen: Meine bisherige Idee war es, eine Regression durchzuführen, hat nicht geklappt. Deswegen wollte ich mit dem Steckbriefverfahren weiterverfahren, habe somit drei Punkte bestimmt und wollte daraus eine Gleichung aufstellen. Jedoch weiß ich da nicht weiter.. P (0|0) X (3,7|3,85) C (10.5|3] Das Sektgkas rotiert um die x-Achse |
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| 24.06.2017, 01:13 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Liegen über die Kurve(n) keine weiteren Informationen vor? Es könnten auch zwei abschnittsweise definierte Funktionen sein. Ansonsten versuche es mal mit der Kurve und setze darin die Punkte X, C zur Berechnung von a, b ein (die Kurve geht in dieser Form eh durch den Nullpunkt). Das Volumen berechne in den Grenzen von 0 bis 10.5 mY+ |
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| 24.06.2017, 13:12 | rlynova | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist, dass ich das Glas gefühlt habe. Es passen ca. 300 ml rein. Mit der Formel jedoch ist das Volumen nur ca. 160ml. |
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| 24.06.2017, 13:24 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man nicht mehr über die Eigenschaften dieses Glases weiß, kann man auch kein genaueres Ergebnis erhalten. Sieht das Ding überhaupt so aus, wie in mYthos' Zeichung (der übrigens den Ansatz meinte)? Wenn nicht, dann solltest du noch ein paar mehr Daten zum Glas liefern. Drei Punkte sind ein bißchen arg wenig. EDIT Nein. mYthos ist von einem quadratischen Ansatz ausgegangen. |
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| 24.06.2017, 14:26 | rlynova | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe leider nicht mehr an Informationen. Und diese drei Punkte sind nur sehr ungefähr. Was soll ich dann in meine Facharbeit stattdessen hinschreiben? Dass die mithilfe dieser Formel nur 228ml fasst? |
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| 24.06.2017, 15:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist denn dieses Sektglas irgendwie vorgegeben? Kann man das in die Hand nehmen? Woher kommen die Daten? (Und wie kommst du auf 228 ml?) |
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| 24.06.2017, 15:06 | rlynova | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich habe Glas hier bei mir. Habe ein bisschen die Punkte und eine hoch 3 ganzrationale Fkt genommen, aber das ist auch nicht wichtig. Ich bin echt am Verzweifeln, muss das gleiche noch mit einem Überraschungsei machen. |
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| 24.06.2017, 15:26 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann dir nicht helfen, da ich das Glas nicht vor mir habe. Fehlerquellen können sein: zu wenige Punkte Ablesefehler bei den Koordinaten Nichtberücksichtigung eines Streckfaktors Rechenfehler bei der Erstellung der Randfunktion Rechenfehler bei der Berechnung des Volumens und viele andere |
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| 24.06.2017, 18:58 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit einer rationalen Polynomfunktion ist diesem eiförmigen Querschnitt nicht beizukommen. --------- Möglich wäre eine abschnittsweise Definition mittels zwei Funktionen. Die erste zwischen 0 und 3 als , die zweite kann dann eine Polynomfunktion ebenfalls vom Grad 2 sein, welche im Punkt C knickfrei anschließt. Das würde allerdings sicher zu kompliziert werden und auch nicht im Sinne des Aufgabenstellers gelegen sein. ---------- Fazit: Im Nullpunkt muss es eine senkrechte Tangente geben! Stichwort: (Überraschungs-)EI (!) Welche Kurve erzeugt demnach bei der Rotation ein Ei? Erraten, die Ellipse. Wir nehmen von der Mittelpunktsgleichung der Ellipse die explizite Form und verschieben den Graphen noch so weit, dass der linke Scheitel in den Nullpunkt fällt. Die Gleichung lautet Das kann man so in GeoGebra eingeben und dann die Parameter a, b mittels der Schieberegler so variieren, dass die Kurve durch die Punkte X und C geht. Analytisch ist das System nach a und b aufzulösen (was keine Probleme bereitet). Die in Geogebra erstellte Funktion erzeugt bei der Rotation in den Grenzen von 0 bis 10.5 um die x-Achse ein Volumen von ca. 447 VE. Ein deutlich geringeres Volumen von etwa 303 VE wird mit dem Punkt X(3; 2.9) erreicht, wenn man C unverändert lässt. ------------- Für dein Überraschungsei wirst du ähnlich zu verfahren haben. [attach]44731[/attach] [attach]44732[/attach] mY+ |
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| 24.06.2017, 19:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Besser geeignet ist das Oval, das gemäß der folgenden Anweisung konstruiert werden kann. [attach]44733[/attach] Die Funktionsgleichung für den oberen Rand ist bei passendem Koordinatensystem |
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| 24.06.2017, 20:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Oval sieht zwar ganz gut aus, geht aber für kein a durch die angegeben Punkte. Da muss man also ein wenig verschieben. a = 12.2, V = ca. 356 (zw. 0 und 10.5) [attach]44734[/attach] mY+ |
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| 24.06.2017, 20:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich war davon ausgegangen, daß Sektglas und Überraschungsei zwei verschiedene Aufgaben sind. So legt es auch die Formulierung des Fragestellers nahe. Beim Überraschungsei sind wir eigentlich noch gar nicht. |
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| 24.06.2017, 21:02 | rlynova | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre das GleichungsSystem von Mythos also die Lösung für mein sektglas? Wenn ja, dann danke ich dir vom ganzem Herzen! |
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| 24.06.2017, 22:02 | rlynova | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir die Herleitung deiner funktionsgleichung kurz erklären? Edit(mY+): Vollquote entfernt! |
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| 24.06.2017, 22:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
WIE hast du denn DAS gemacht? ---------- Ich bin ebenfalls in meinen bisherigen Antworten von einer Sektglasform ausgegangen. Im Moment lässt sich das Ding versuchsweise eben nur durch eine elliptische Kurve annähern. Das Sektglas mit V = ca. 450 VE trifft mit seiner Form am ehesten die Kurve, die durch die beiden gegebenen Punkte geht. Dabei ist jedoch das Volumen zu groß. Von der Form gefällt allerdings das zweite mit V = 303 VE besser, allerdings ist dort der Punkt X(3; 2.9) Wie wäre es, du misst nochmals nach und korrigierst gegebenenfalls die Punktkoordinaten? ---------- Nicht viel besser ist das Oval, außerdem trifft die Kurve nicht alle beide Punkte. Insgesamt überzeugt keine der drei Varianten wirklich, wenn man sich ein Sektglas in natura ansieht. Sie erscheinen alle - wie bei einem Bierglas - zu "bauchig", wogegen das echte Sektglas in die Höhe schlanker verläuft. Ich warte noch mal die Antwort(en) ab, vielleicht ist in der Zwischenzeit doch noch eine bessere Funktion zu finden ... mY+ |
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| 24.06.2017, 22:37 | rlynova | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Mythos, Kannst du mir kurz die Herleitung deiner Funktion erklären? Danke. Habe alle Punkte nochmals nachgemessen: X(3,7|4) P(12|3) |
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| 25.06.2017, 01:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe ich doch schon erklärt! Also nochmals: Wenn du wie oben schon angegeben mit der Gleichung der Halbellipse arbeiten willst, gehst du von deren expliziter Gleichung in Mittelpunktslage aus. Durch Verschiebung des linken Hauptscheitels in den Nullpunkt ergibt sich die Gleichung für die im ersten Quadranten liegende Halbellipse (a, b, d.s. die Längen der großen und kleinen Halbachse). Darin setzt du nun die Koordinaten der beiden Punkte X und C ein und gewinnst somit ein Gleichungssystem in a, b Die Lösung geht gut mittels Division der beiden Gleichungen, wobei a/b wegfällt und eine Gleichung in a übrigbleibt. Nun, dein Punkt X kann bei einem Volumen von ca. 300 VE nicht gut die Koordinaten (3.7; 4) haben. In diesem Fall wäre das Volumen (mit C(12; 3) ungefähr 512 VE, also mehr als ein halber Liter. [attach]44738[/attach] Der Thread krankt zunehmend daran, dass deine Angaben nach wie vor sehr diffus sind (jetzt hast du wieder andere Koordinaten!) und nicht zu erkennen ist, worauf du eigentlich hinauswillst. Bist du sicher, dass deine Werte stimmen? Und nochmals, WIE hast du eigentlich dein Volumen von 160 ml berechnet? Besser wäre X(3.7; 3), dabei ist V = 302 VE, bei einer Höhe von 12 und dem oberen Durchmesser 6 (C(12;3); a = 7.5, b = 3.5) [attach]44737[/attach] mY+ |
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| 25.06.2017, 20:52 | rlynova | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, tut mir Leid, dass ich so unpräzise war. Das Ergebnis von 160ml habe ich durch komisches Rechnen herausbekommen - ergo nicht wichtig. Ich habe nebenbei alle Zahlen nochmals überprüft: Volumen Glas: 400ml Punkt P (4 | 3,7) Punkt H (11,5|3) Ich denke, dass ich für die Funktion vom Sektgals selber klarkomme - dank euch!!! Aber noch eine Frage zu Geogebra: Wie kann man das Volumen dort ausrechnen lassen, wie du das hast, Mythos? Habe eine Funktion eingegeben, kannst du mir kurz die Formel für das Volumen sagen, bzw was ich bei geogebra wo eingeben muss? Wäre super. Für das Überraschungsei: Da muss ich genauso verfahren, oder? Also halt mit einer Ellipse als Gleichung. |
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| 25.06.2017, 23:26 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun, wieder andere Zahlen, aber endlich dürften sie halbwegs stimmen. [attach]44751[/attach] ------------ In dem Geogebra Arbeitsblatt wurde jetzt der Punkt X mit dem x-Wert 4 und der Punkt C mit dem x-Wert 11.5 fix eingegeben, mit den Schiebereglern verändert man a, b so, dass auch die gegebenen y-Werte erreicht werden. Nebenbei ist die Veränderung des Volumens laufend zu beobachten. Im Prinzip kannst du alles auch leicht manuell rechnen. Sowohl das Gleichungssystem (nach dem Einsetzen der Punktkoordinaten) und auch das bestimmte Integral lassen sich verhältnismäßig leicht lösen. Falls im Unterricht GeoGebra verwendet werden soll/darf, nun, um so besser! Das Volumen wird mittels der allgemeinen Formel bei Rotation eines Funktionsgraphen von f(x) um die x-Achse berechnet: Dass unsere Ellipsenfunktion ( f(x) bzw. f_1(x) ) eine Wurzelfunktion ist, kommt der Berechnung des Integrals sehr entgegen, denn beim Quadrieren löst sich die Wurzel auf. Dieses Quadrat ist im Geogebra-Blatt die Funktion h(x) und V ist demnach Integral[h, 0, 11.5]. Du kannst das Arbeitsblatt hier als ZIP-Archiv herunterladen: [attach]44752[/attach] mY+ |
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