Mittelwert einer Funktion

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Mittelwert einer Funktion
Meine Frage:
Hallo zusammen

Die Frage ist, welchen Mittelwert die Funktion annimmt, wenn die Fläche A1 um 13/4 (=3,25) kleiner als A2 ist (Es geht um das Intervall [1;7,5], der Mittelwert ist 3). Ich habe schon eine Idee, die auch zur richtigen Lösung führt, aber mir geht es vor allem darum, dass es "mathematisch korrekt" aufgeschrieben ist, da ich die Aufgabe auch in der Schule präsentieren muss.

Meine Ideen:
Verkleinert sich die Fläche A1, verkleinert sich natürlich auch die gesamte Fläche unter der Funktion um 3,25. Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse kann man ja auch mit Mittelwert * Breite des Intervalls, also m*(b-a), berechnen.
Also müsste gelten: (m*(b-a))-3,25.
Also: 6,5*m-3,25
= m-(3,25/6,5), also m-0,5 = 2,5
Also ist der neue Mittelwert = 2,5.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Um welche Funktion geht es denn und wie lautet die genaue Aufgabenstellung?
 
 
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um die Funktion, deren Graph auf dem Bild zu sehen ist. Eine genaue Funktionsgleichung ist leider nicht gegeben.
Die Aufgabe lautet: Welchen Mittelwert nimmt die Funktion an, wenn die Fläche A1 um 13/4 kleiner ist als A2.
Tut mir leid dass meine Frage vielleicht nicht ganz klar formuliert war.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht.
Weder die Funktion, noch A1 und A2 und m sind gegeben?
Wie soll das gehen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Angaben sind ausreichend.

Wie berechnet man denn allgemein den Mittelwert einer Funktion?
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit wenn ich die Frage richtig verstanden habe?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und dieses Integral (=Fläche unter der Funktion) kannst du aus der Skizze ablesen.
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, so langsam verstehe ich das...
Das heißt, die Fläche unter der Funktion (in dem Intervall) ist ja gleich groß wie die Fläche, die man mit Mittelwert*Breite des Intervalls berechnen kann; die Fläche ist dann also 3*6,5=19,5 Flächeneinheiten groß. Von dieser Fläche kann man dann die 13/4 abziehen, dann noch durch die Intervallbreite teilen und man erhält 2,5 als neuen Mittelwert.
Mir ist aber noch eine andere Idee gekommen (wahrscheinlich gleiche Idee, nur anders formuliert):
Da sich die Fläche um 13/4 FE verringert, muss für den neuen Mittelwert gelten:

Ausmultipliziert heißt das:

Da man mit den "alten" Mittelwert berechne konnte, muss das 3 ergeben...
ergibt 0,5 (mit b-a=6,5) und man erhält somit wieder 2,5 als neuen Mittelwert
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AP0
(Es geht um das Intervall [1;7,5], der Mittelwert ist 3).

Das verstehe ich nicht: Wenn der Mittelwert 3 gegeben ist, wieso sollst du ihn dann berechnen?
Ich würde vermuten: Die 3 ist einfach der y-Wert, an dem die gestrichelte horizontale Linie eingezeichnet ist. Das hat nichts mit irgendeinem Mittelwert zu tun.
Und dann verstehe ich auch nicht, warum du von einem "neuen" Mittelwert sprichst? Gibst es auch einen alten? verwirrt

Ich habe in der Skizze noch etwas ergänzt:
[attach]44765[/attach]

Kümmern wir uns erstmal um die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse im Intervall . Wie könnte man die berechnen?
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, dass ich nicht alle Informationen klar hier rein geschrieben hab.
Ich versuchs mal verständlich zu schreiben:
Es geht um die Funktion, deren Graph zu sehen ist, im Intervall [1;7,5].
Der Mittelwert der (abgebildeten) Funktion ist 3 und ist ebenfalls eingezeichnet, einfach die horizontal gestrichelte Linie (das wäre der "alte" Mittelwert)
Das heißt A1 und A2 müssen einen gleich großen Flächeninhalt haben.

Die Frage ist jetzt, wie sich der Mittelwert verändern WÜRDE, WÄRE die Fläche A1 um 13/4 Flächeneinheiten kleiner als A2. Diesen "neuen" Mittelwert soll man berechnen.

Ich hoffe das war jetzt einigermaßen verständlich, ansonsten einfach nochmals fragen... erklären war noch nie meine große Stärke Hammer
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, das verändert nicht viel. Wichtig ist nur, dass du weißt, dass die gestrichelte Linie bei 3 ist. Warum sie da ist, kann dir jetzt bei der Rechnung eigentlich egal sein. Augenzwinkern

Zurück zu meiner Frage: Wie würdest du die Fläche im Intervall berechnen?
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Integral? Um für die Fläche einen konkreten Wert zu erhalten, bräuchte man aber die Funktionsgleichung... oder den Mittelwert der Funktion in diesem Intervall
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu brauchst du keine Integralrechnung, elementare Geometrie tut's auch. Augenzwinkern

Die Fläche besteht aus zwei Teilflächen; die obere hat Flächeninhalt , und die untere?
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das ist ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 3*(c-a)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Damit kennst du den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen im Intervall , d.h. .

Und jetzt für das Intervall .
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

?
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein Quatsch... 3*(b-c)-A2 ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Was ist jetzt also der gesamte Flächeninhalt?
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

A1+3*(c-a) +3*(b-c)-A2
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Und weiter? Das kann man ja noch vereinfachen. Und dann weißt du auch noch etwas über .

Du darfst übrigens gerne auch mal mehr als immer nur einen kleinen Schritt rechnen. Augenzwinkern
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob du datauf hinais willst, aber wenn der Mittelwert 3 ist, dann sind die Flächen A1 und A2 gleich groß, d.h. A1-A2=0.
Dann ergibt sich 3c - 3a + 3b - 3c
Also bleibt am Ende 3b-3a bzw. 3*(b-a), was ja wieder die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks ist...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AP0
aber wenn der Mittelwert 3 ist

Ist er doch gar nicht! Den "neuen" Mittelwert sollst du doch gerade berechnen, und dazu hast du die Voraussetzung gegeben:
Zitat:
Original von AP0

wenn die Fläche A1 um 13/4 (=3,25) kleiner als A2 ist



Edit: Jetzt fällt mir gerade auf, dass du hier
Zitat:
Original von AP0
Da sich die Fläche um 13/4 FE verringert, muss für den neuen Mittelwert gelten:


mit wohl die "alte" Funktion meintest. Und dann stimmt deine Rechnung bzw. Begründung. Sorry, dass ich dich solange aufgehalten habe. geschockt
Ich hatte auch noch (fälschlicherweise) ein anderes Ergebnis raus, und mir das deswegen nicht so genau angeschaut. Da war ich wohl etwas "blind".

Wenn du willst, können wir trotzdem gerne noch den längeren Weg zu Ende rechnen.
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, ich würde diesen längeren Weg trotzdem noch zu Ende rechnen, kann ja schließlich nicht schaden smile
Also, wie du gesagt hast, ist 3 natürlich nicht der Mittelwert...
Also sind A1 und A2 auch nicht gleich groß..
A1 + 3*(b-a) - A2
Da A1 um 13/4 kleiner ist als A2, gilt: A1+13/4=A2 bzw. A2-13/4=A1
Daraus ergibt sich dann
A2-13/4 + 3*(b-a) - A2 = -13/4 + 3*(b-a)
oder
A1 + 3*(b-a) - A1-13/4 = 3*(b-a) -13/4
Bei beiden Termen (stimmt der Begriff?) erhält man 16,25... was gibt mir dieser Wert denn jetzt an?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Guck dir nochmal an, was wir bis jetzt gemacht haben:

Du hast die Flächeninhalte der einzelnen Teilflächen bestimmt, und kennst damit jetzt auch den gesamten Flächeninhalt unter der Funktion. Dieser entspricht .
Also ist .

Die rechte Seite hast du vereinfacht: .
(Es ist übrigens egal, ob man da oder schreibt; diese beiden Terme sind ja identisch. Und ja, die heißen wirklich Terme. Augenzwinkern ).

Und jetzt hast du schon alles, was du für die Berechnung des Mittelwerts brauchst. Du hast ja oben schon geschrieben, dass man den Mittelwert berechnet durch .
AP0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach jetzt verstehe ich das alles!
Um den Mittelwert zu berechnen die 16,25 nur noch durch die Intervallbreite teilen, dann erhält man einen Mittelwert von 2,5...
Super, vielen vielen Dank! Freude
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