Normalverteilungsaufgabe

25.06.2017, 12:05

FaithNoMore

Normalverteilungsaufgabe

Meine Frage:
Hallo,

ich habe versucht folgende Aufgabe zu lösen und wäre sehr glücklich, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich das Ganze richtig angegangen bin.

Seien $\begin{eqnarray*} X_i, 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray*} E(X_i)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie eine Approximation für $\begin{eqnarray*} P\{\sum\limits_{i=1}^n X_i > 1.1n\} \end{eqnarray*}$ mittels dem Zentralen Grenzwertsatz mit bzw. ohne Stetigkeitskorrektur. (Dabei dürfen Sie $\begin{eqnarray*} 1.1n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ annehmen.)
Vergleichen Sie diese im Fall n = 10 und n = 100 mit der tatsachlichen Wahrscheinlichkeit.

Meine Ideen:
Ohne Stetigkeitskorrektur hätte ich dann die Rechnung

$\begin{eqnarray*} P\{\frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i - E[\sum\limits_{i=1}^n X_i]}{\sqrt{Var(\sum\limits_{i=1}^n X_i)}}\} = P\{\frac{1.1n - n}{\sqrt{n}}\} = 1- \Phi(\frac{1.1n-n}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$

Und mit Stetigkeitskorrektur
$\begin{eqnarray*} ... = 1 - \Phi(\frac{1.1n + 0.5 - n}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$

Für n=10 komme ich dann ohne Stetigkeitskorrektur zu
$\begin{eqnarray*} 1-\Phi(\frac{1.1 \cdot 10 -10}{\sqrt{10}}) = 1-\Phi(\frac{1}{\sqrt{10}}) 1-\Phi(0.316) = 1 - 0.62552 = 0.37448 \end{eqnarray*}$

Mit Stetigkeitskorrektur dann
$\begin{eqnarray*} 1-\Phi(\frac{1.1 \cdot 10 + 0.5 -10}{\sqrt{10}}) = 1-\Phi(\frac{1.5}{\sqrt{10}}) = 1-\Phi(0.474) = 1 - 0.68439 = 0.31561 \end{eqnarray*}$

Analog dazu das gleiche Vorgehen für n=100. Habe ich hierbei etwas übersehen oder ist das soweit korrekt? smile

Wäre sehr dankbar, wenn jemand drüber schauen würde! Gott

25.06.2017, 15:25

HAL 9000

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Sieht soweit korrekt aus. Der Part

Zitat:

Original von FaithNoMore
Vergleichen Sie diese [...] mit der tatsachlichen Wahrscheinlichkeit.

ist natürlich noch zu tun.

26.06.2017, 09:58

FaithNoMore

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Das habe ich ganz übersehen! Vielen Dank für den Hinweis. Das müsste ich dann doch nur noch über die Poisson-Verteilung berechnen, oder?

Also für n=10:
$\begin{eqnarray*} 1 - (\frac{1^1\cdot e^{-1}}{1!} + ... + \frac{1^{10}\cdot e^{-1}}{10!}) \approx 1 - 0.6321 = 0.3679 \end{eqnarray*}$

Aber für n=100 wäre das ja unheimlich viel... habe ich den falschen Weg genommen oder gibt es irgendeinen Trick? Hammer

26.06.2017, 10:25

HAL 9000

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Mir ist nicht so ganz klar, was du da rechnest:

Am Anfang sollte die Erkenntnis stehen, dass die Summe von unabhängigen poissonverteilten Zufallsgrößen wieder poissonverteilt ist, wobei der Parameter dieser Poissonverteilung gleich der Summe der Einzelparameter ist. Im vorliegenden Fall, wo diese Einzelparameter alle gleich 1 sind, bedeutet dies für $\begin{align*} Y_n:=\sum_{i=1}^n X_i \end{align*}$ die Verteilung $\begin{align*} Y_n\sim \operatorname{Poisson}(n) \end{align*}$ . Die Rechnung für $\begin{align*} n=10 \end{align*}$ sollte daher lauten

$\begin{align*} P\left( Y_{10} > 11 \right) = 1-P\left( Y_{10} \leq 11 \right) = 1-e^{-10}\sum_{k=0}^{11} \frac{10^k}{k!} \end{align*}$ .

26.06.2017, 18:01

noAhnung

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Ich mache gerade die gleiche Aufgabe. Was mich etwas verwirrt: Gibt es irgendeinen Trick die Berechnung auch für n=100 anzustellen? Mein Taschenrechner streikt da natürlich sofort und selbst Wolfram Alpha liefert kein gut einsehbares Ergebnis...

26.06.2017, 18:14

HAL 9000

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Zum einen: Viele Taschenrechner bieten heute ja Statistikfunktionen, vielleicht auch gleich die Verteilungsfunktion (vielleicht auch unter dem englischen Stichwort "cumulative distribution function" gelistet) der Poisson-Verteilung, das wäre am bequemsten.

Falls nicht, das Teil aber begrenzte Programmierfähigkeiten hat: Für die Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} p_k = P(X=k) \end{align*}$ einer $\begin{align*} \operatorname{Poisson}(\mu) \end{align*}$ -verteilten Zufallsgröße gilt folgende Rekursion:

$\begin{align*} p_0 = e^{-\mu} \end{align*}$
$\begin{align*} p_k = \frac{\mu}{k}\cdot p_{k-1} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,2,\ldots \end{align*}$

Damit kann man ärgerliche Fakultätsüberläufe vermeiden.

Hier besteht nun allerdings wieder die Gefahr eines Unterlaufes. Richtig robust wird es dahingehend erst, wenn man $\begin{align*} q_k=\ln(p_k) \end{align*}$ in der Rekursion hat:

$\begin{align*} q_0 = -\mu \end{align*}$

$\begin{align*} q_k = q_{k-1} + \ln(\mu) - \ln(k) \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,2,\ldots \end{align*}$

während man sukzessive aufsummiert

$\begin{align*} P(X\leq n) = \sum_{k=0}^n p_k = \sum_{k=0}^n e^{q_k} \end{align*}$ .

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