Partielle Differenzierbarkeit und Tangentialebene

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PhysX Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Differenzierbarkeit und Tangentialebene
Hallo zusammen. Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
[attach]44741[/attach]

Vorab ich bin kein Freund von max-Funktionen Big Laugh

Was ich schon habe:
(a) Ich habe bereits die partiellen Ableitungen bestimmt also:



So mein Problem liegt nun bei der
(b) und (c).

Für die (b) hätte ich vielleicht noch folgende Idee:



Aber ich wüsste nicht wie ich das in solch eine Funktion einsetzen kann..

mfg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Differenzierbarkeit und Tangentialebene
Du könntest bei b) benutzen, wenn stetig partiell differenzierbar ist, dann ist differenzierbar. Und wenn in einem Punkt differenzierbar ist, kann man dort auch die Tangentialebene angeben.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Differenzierbarkeit und Tangentialebene
Ok. Das mit der stetig partiellen Differenzierbarkeit haben wir gemacht. Nur in dieser Woche haben wir etwas eingeführt, was dazu ähnlich sein, soll wodurch ich gerne mit dem neuen Arbeiten würde.
[attach]44743[/attach]

Nur weiß ich nicht wie ich diese Formel auf diese Aufgabe anwenden kann
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Differenzierbarkeit und Tangentialebene
Das würde man nur benutzen, wenn man die Differenzierbarkeit nicht schon auf andere einfachere Weise zeigen könnte. Das ist etwa so, als ob man im eindimensionalen die Ableitung einer komplexeren Funktion über die Definition der Ableitung (h-Methode) bestimmen wollte, statt die diversen Ableitungsregeln zu benutzen, die doch extra deshalb hergeleitet wurden, um das vermeiden zu können. Da deine Funktion wegen des max-Terms hübsch hässlich ist, könnte dieser Weg ebenfalls hässlich werden. Ich schlage vor, du gehst über die stetige partielle Differenzierbarkeit, die ja an der Grenze zwischen und erst mal zu zeigen ist.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist wie zeige ich das mit und .

Ich hätte ja sonst das ganze so gemacht: Ich nehme eine Folge in :

mit

und setze das ganze in

Muss ich das ganze dann einmal für und einmal für sonst. machen?

Und davor muss ich doch erstmal mit


prüfen ob der Grenzwert existiert nur die Frage ist auch hier wie ich das in diese Funktion einsetzen kann?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Warum so kompliziert? Behandle mal die Funktion, die sich für ergibt (ich nenne sie mal ) und die Funktion, die sich für ergibt () als auf ganz definierte Funktionen. Diese beiden Funktionen sind auf ganz stetig partiell differenzierbar. Wenn ihre partiellen Ableitungen auf der Grenze übereinstimmen, ist offensichtlich überall stetig differenzierbar.
 
 
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche mal beide Funktionen aufzustellen:

Für




Für

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhysX
Für


Woher kommt das am Ende?


Zitat:
Für


Woher kommt das am Ende?

Du hast doch ganz am Anfang schon mal die partiellen Ableitungen in den beiden Bereichen genannt. Die erschienen mir korrekt. Da musst du doch die Teilfunktionen auch korrekt aufgestellt haben.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ja es hat mich verwirrt..

Also habe ich




und

Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhysX
Ja es hat mich verwirrt..

Das kenne ich. Ich verzwirbele auch oft meine richtigen Gedanken so lange, bis sie falsch werden.

Ansonsten Zustimmung, wobei es mir nützlich erscheint, die Teilfunktionen von der Bezeichnung her zu unterscheiden. Du musst ja nicht unbedingt die Indizes < bzw. > verwenden.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Muss ich den jetzt mit den Folgen arbeiten , um zu zeigen, dass das ganze stetig partiell differenzierbar ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Nein!

Ich sagte doch schon, betrachte die partiellen Ableitungen der beiden Teilfunktionen auf der Grenzkurve . Wenn sie dort übereinstimmen, ist die Gesamtfunktion überall stetig partiell differenzierbar.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Wir hatten das bisher immer mit Folgen gemacht.

Mein Problem ist also, dass ich nicht weiß wie ich mit der Grenzkurve hier arbeiten soll
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhysX
Ok. Wir hatten das bisher immer mit Folgen gemacht.

Entschuldigung, aber jetzt muss ich etwas länglich werden.

In der Mathematik bauen die Dinge doch aufeinander auf. Wenn man im Studium etwas beweisen soll, darf man nichts benutzen, was nicht schon vorher bewiesen wurde. Aber alles, was schon vorher bewiesen wurde, darf man üblicherweise benutzen. Wäre das nicht so, müsste man schon im 2. oder 3. Semester für viele Beweise ganze Bücher schreiben.

Die Ableitung von Funktionen kann (muss nicht) über Folgen definiert werden. Mittels dieser Definition kann und wird dann eine einseitige Differenzierbarkeit in einem Punkt definiert. Es wird dann bewiesen, dass eine Funktion in einem Punkt genau dann differenzierbar ist, wenn sie von beiden Seiten einseitig differenzierbar ist und die beiden einseitigen Ableitungen übereinstimmen. Ich gehe davon aus, dass du das benutzen darfst.

Wenn man die partiellen Ableitungen einer Funktion betrachtet, betrachtet man Variablen als Konstanten und nur eine der Variablen als variabel. Die partielle Ableitung einer Funktion entspricht damit der Ableitung einer Funktion . Es kann also für partielle Ableitungen der vorher erwähnte Satz über einseitige Ableitungen benutzt werden.

Zitat:
Mein Problem ist also, dass ich nicht weiß wie ich mit der Grenzkurve hier arbeiten soll

Jetzt wiederhole ich mich. Bestimme die partiellen Ableitungen von und auf der Grenzkurve. Die sind ja identisch mit den einseitigen partiellen Ableitungen von auf der Grenzkurve. Prüfe, ob sie übereinstimmen!!!
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Danke das du das nochmal erklärt hast bzw dir generell gerade Zeit nimmst.

Also wenn ich jetzt einsetze

bekomme ich automatisch für :
Dann folgt:.

Für die einseitige partielle Ableitung von folgt jedoch:
.

Irgendwas mache ich hier falsch unglücklich Forum Kloppe
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhysX
Also wenn ich jetzt einsetze

bekomme ich automatisch für :

Richtig.

Zitat:
Dann folgt:.

Wieso das?
Wenn eine Funktion an einer Stelle Null ist, muss ihre Ableitung dort doch nicht Null sein

Du must erst die partielle Ableitung von bilden und dann setzen!
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau hier war der Fehler.. ich habe zuerst eingesetzt unglücklich

Naja. Dann folgt nun:

Ich setze nun ein und erhalte
=

Somit folgt: (für )
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend bist du dir nicht darüber im klaren, welch unerträgliche seelische Schmerzen deine Einlassungen bei mir verursachen! Ich muss mal mit meinen Anwälten diskutieren, auf wieviel Googol Schmerzensgeld wir dich verklagen können!

Zitat:
Original von PhysX
Naja. Dann folgt nun:

Wieso das?
Es ist doch



Also



Okay, offenbar hast du mit vertauscht. Es ist



Also



Setzt man dann ergibt sich aber



Ich hoffe, du verstehst, dass deine unüberlegten Schnellschüsse meine Motivation, dir zu helfen, nicht gerade fördern.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast recht, ich sollte evt. nicht mehrere Aufgaben versuchen gleichzeitig zu lösen, dann kommt man die ganze Zeit durcheinander.
Ich habe das jetzt mal in Ruhe nochmal alles durchgerechnet, und komme zum Glück auf die selben Ergebnisse.

Wenn man nun in

die einseitigen Partiellen Ableitungen, die ich ja in (1) berechnet habe also:



einsetzt, kommt man ja aufs selbe hinaus
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist jetzt mit den beiden Ergebnissen bei ?
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Die sind identisch.
Ob ich jetzt bzw. partiell ableite, und dann oder direkt in meine schon berechneten Ableitungen einsetzte, es kommt das gleiche raus. Und das soll mir jetzt sagen das also f überall stetig differenzierbar ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhysX
Und das soll mir jetzt sagen das also f überall stetig differenzierbar ist?

In dem Satz fehlt das Wort partiell.
Ja, denn damit sind die partiellen Ableitungen auf der Grenzkurve stetig. Und abseits der Grenzkurve sind sie eh stetig.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde dann ja automatisch auch bedeuteten, dass die Funktion f also auch differenzierbar in (1,1) ist, wenn ich mich nicht irre.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da irrt Sam Hawkens nicht!
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Ich hoffe wie gesagt nur nicht das hier explizit zur diffbarkeit in (1,1) gefragt wurde, und daher dieser Lösungsweg nicht akzeptiert wird, obwohl er richtig ist..

Um jetzt auf die (c) zu kommen. Da wir ja gezeigt haben, dass f überall stetig partiell differenzierbar ist, und somit auch in (1,1) differenzierbar ist, dann gibt es auch eine Tangentialebene bei f in (1,1)?´
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das bedeutet, es gibt eine Tangentialebene.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Ich lese jetzt nicht aus der Aufgabenstellung heraus, dass ich die Tangentialebene in (1,1) auch noch berechnen muss, dann hoffe ich mal bin ich fertig mit dieser Aufgabe.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Den Satz "Geben Sie , wenn möglich, eine Vorschrift ...", würde ich schon so interpretieren, dass man die Tangentialebene konkret angeben soll. Das ist nach den bisherigen Vorarbeiten doch ein Klacks.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok.
Für









Und jetzt noch das ganze für den Fall Wenn ich nicht falsch liege
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte richtig sein

Zitat:
Original von PhysX
Und jetzt noch das ganze für den Fall

Wieso das? Es kann doch in einem Punkt nur eine Tangentialebene geben. Und du hast doch vorher gezeigt, dass die partiellen Ableitungen der beiden Teilfunktionen auf der Grenze übereinstimmen. Damit ergibt die Rechnung mit der anderen Teilfunktion wieder dieselbe Tangentialebene. Und täte sie es nicht, dann gäbe es auch keine Tangentialebene in dem Punkt.
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt. Aber ich dachte ich mache das dennoch kurz für meine Argumentation. Geht ja eigentlich ganz schnell. Dennoch danke nochmal das du dir die Zeit genommen hast. Es ist wohl nunl endlich geschafft.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhysX
Es ist wohl nunl endlich geschafft.

Das ist es.
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