Prüfen ob eine Matrix unitär ist |
| 25.06.2017, 15:54 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Prüfen ob eine Matrix unitär ist Hallo ihr Lieben, ich habe folgende Aufgabe. Das Problem ist, dass ich es zunächst über rechnen probiert habe und feststellen musste, dass es jetzt zu aufwendig ist. Meine Frage ist nun wie ich das am besten ohne viel rechnen und mit ausnutzen der Eigenschaften bestimmen kann? Meine Ideen: Also ich weiß ja, was unitär bedeutet. Das bedeutet doch gerade, dass die Aussage A^H * A = I zeigen muss, bzw. wegen der linearen Unab. A^-1 * A = I. Das ist ziemlich aufwendig. Wäre es denn möglich das auch irgendwie über die Orthonormalbasis zu zeigen? |
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| 25.06.2017, 15:59 | mathrac | Auf diesen Beitrag antworten » |
| *Nachtrag: Und ich soll anhand eines Bsp. zeigen, dass C Abstände und Winkel erhält. :/ Dafür habe ich absolut keine Idee. |
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| 25.06.2017, 18:13 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Rechnen ist nie zu aufwendig, das ist immer lehrreich. Leonard Euler hat fleißig gerechnet und kam damit ziemlich weit, zu einer Zeit, in der ihm noch nicht die heutigen Theorien zur Verfügung standen. Carl Friedrich Gauß wurde auch dadurch zum Fürst der Mathematik, dass er sehr viel gerechnet hat. Bernhard Riemann hat seine berühmte Vermutung über die zeta-Funktion nur aufstellen können, weil er meisterlich gerechnet hat. Rechne, also bist du ! Wiki sagt über die unitären Matrizen, dass sie stets die Norm und das Skalarprodukt invariant lassen. Das glauben wir einfach mal, und dann weißt du sicher, wie man einen normierten Vektorraum zu einem metrischen Vektorraum macht (Abstände !) und wie man in einem unitären Vektorraum Winkel (!) durch das Skalarprodukt definiert. Klitzekleine Beispiele genügen - je mehr du rechnest, desto besser wirst du. Mir wäre das Rechnen mit Beispielen nicht der Mühe wert, ich würde stattdessen zwei allgemeine Vektoren zum Ausgangspunkt nehmen um zu beweisen, dass die vorgegebene Matrix Normen, Abstände, Sklalarprodukte und Winkel invariant lässt. Wenn die Matrix unitär ist, muss das ja so sein. |
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