Differenzierbarkeit auf R^2

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26.06.2017, 12:57	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit auf R^2 Guten Tag, ich hab die Aufgabe: [attach]44754[/attach] ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich die (a) und (b) machen soll.. (Bei der (a) hätte ich evt. die Jacobi Matrix bestimmt, aber ich glaube das stimmt nicht )
26.06.2017, 22:25	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit auf R^2 Kann mir hier vielleicht jemand helfen?
26.06.2017, 23:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenkundig ist $\begin{align} f(x,y) = g(h(x,y)) \end{align}$ mit $\begin{align} h(x,y) = x^2y \end{align}$ sowie $\begin{align} g(t) = \begin{cases} \frac{\sin(\sqrt{t})}{\sqrt{t}} & \;\mbox{für}\;t>0\\ 1 & \;\mbox{für}\;t=0\\ \frac{\sinh(\sqrt{-t})}{\sqrt{-t}} & \;\mbox{für}\;t<0\end{cases} \end{align}$ . Funktion $\begin{align} h \end{align}$ ist als Polynom trivialerweise beliebig oft differenzierbar. Wenn es gelingt, dies auch für $\begin{align} g(t) \end{align}$ nachzuweisen, bist du fertig: Und dazu empfehle ich dir, die Funktion $\begin{align} g \end{align}$ im Nullpunkt in eine Potenzreihe zu entwickeln.
26.06.2017, 23:03	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir. Ich mache das ganze morgen mal!
27.06.2017, 12:52	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
h ist also trivialerweise beliebig oft differenzierbar.. Wenn ich mich nun recht erinnere dann gilt ja h(x)=0 und h'(x)=0 auch als Funktion. Um auf die Frage zurück zukommen: Also ich muss gestehen ich bin in Sachen Taylorreihen eingerostet deshalb ist mein vorgehen wohl falsch , aber ich versuche es trotzdem mal: (für t>0) g(t)= $\begin{eqnarray} \frac{sin\sqrt{t}}{\sqrt{t}} \end{eqnarray}$ Im Nullpunkt folgt dann: $\begin{eqnarray} 1-\frac{t}{6}+\frac{t^2}{120}-\frac{t^3}{5040} ..... \end{eqnarray}$
27.06.2017, 14:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist korrekt, vollständig geschrieben ist es $\begin{align} g(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} t^k \end{align}$ . Und da die Sinusreihe Konvergenzradius unendlich hat, gilt diese Darstellung für $\begin{align} g(t) \end{align}$ sogar für alle $\begin{align} t>0 \end{align}$ . Was ist mit dem unteren Zweig, d.h., für $\begin{align} t<0 \end{align}$ ?
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27.06.2017, 15:14	Simon1783	Auf diesen Beitrag antworten »
HAL: Wie bist du auf diese Reihendarstellung gekommen?
27.06.2017, 15:27	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} t<0 \end{eqnarray}$ folgt: mit $\begin{eqnarray} g(t)=\frac{sinh\sqrt-t}{\sqrt-t} \end{eqnarray}$ folgt ebenso $\begin{eqnarray} 1-\frac{t}{6}+\frac{t^2}{120}-\frac{t^3}{5040} ... \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} g(t)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac {(-1)^k}{(2k+1)!}t^k \end{eqnarray}$ falls ich mich jetzt nicht irre.
27.06.2017, 17:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, dieselbe Darstellung - und der Vollständigkeit halber müssen wir auch noch $\begin{align} t=0 \end{align}$ betrachten und feststellen, dass dort dieselbe Formel auch hinhaut (d.h. $\begin{align} g(0)=1 \end{align}$ ). Das heißt, wir haben für alle reellen $\begin{align} t \end{align}$ dieselbe Potenzreihendarstellung $\begin{align} g(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} t^k \end{align}$ . (Das ist natürlich kein Zufall, sondern von den Aufgabenstellern so hingetrickst. ) Was bedeutet das für die Differenzierbarkeit, sowohl die einfache als auch die beliebig oft?
27.06.2017, 17:53	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Also von Potenzreihen weiß ich das sie beliebig oft differenzierbar sind. Da die funktion f lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist sie automatisch differenzierbar (auch im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ )
27.06.2017, 17:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, zunächst ist somit $\begin{align} g \end{align}$ beliebig oft differenzierbar, für $\begin{align} h \end{align}$ hatten wir das bereits festgestellt, und damit gilt es auch für die Verkettung $\begin{align} f(x,y) = g(h(x,y)) \end{align}$ , fertig.
27.06.2017, 18:03	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab noch eine Frage. Wir haben ja jetzt mithilfe von den Potenzreihen gezeigt, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ beliebig oft differenzierbar ist. Somit impliziert die aufgestellte Verkettung( $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist als Polynom automatisch beliebig oft differenzierbar), dass durch $\begin{eqnarray} f(x,y)=g(h(x,y)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} , f \end{eqnarray}$ gleichzeitig auch beliebig oft differenzierbar im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist. Wie kann ich den jetzt bei der (a) argumentieren?
27.06.2017, 19:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso willst du bei (a) noch irgendwas argumentieren? Wir haben das umfassendere (b) gezeigt.
27.06.2017, 19:46	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen der Reihenfolge. Wollte zuerst mit (a) anfangen dann die (b).
27.06.2017, 19:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dich sinnfrei beschäftigen willst, dann mach das allein.
27.06.2017, 19:56	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinn frei ist das nicht. Ich will das auf meiner Abgabe ja auch irgendwie strukturiert haben, deshalb habe ich gefragt. Trotzdem danke.

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