Satz von Vieta zur Nullstellenbestimmung einer Gleichung 4. Grades

26.06.2017, 14:23

3xplor3r

Satz von Vieta zur Nullstellenbestimmung einer Gleichung 4. Grades

Hi,

ich mal wieder. Habe gerade eine Herausforderung bei der ich nicht weiterkomme, ggf. kann jemand helfen. Ich steige in die Lösung nicht zu Beginn ein, hoffe jedoch, dass niemand dadurch verwirrt wird. Ausgelassen werden die Substitutionsschritte.

Es geht um eine Gleichung 4. Grades, die ich auf eine 3. Grades mithilfe der Substitution vereinfachte. Folgende Werte kamen für die kubische Resolvente $\begin{eqnarray*} z_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{3} \end{eqnarray*}$ heraus.

$\begin{eqnarray*} z_{1}=-3,6172518753208873 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2}=0,7398759376604435 - 0,04138348565741522\cdot\hat{i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{3}=0,7398759376604435 + 0,04138348565741522\cdot\hat{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{3} \end{eqnarray*}$ ergeben sich aufgrund dessen, dass $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ ist und somit für die Gleichung 3. Grades eine reelle und eine zwei komplexe Lösungen existieren. Ich denke, dass hier für mich folgend die Herausforderung besteht.

Nun, so heißt es, muss nach dem Satz von Vieta das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied der Gleichung sein, hier also $\begin{eqnarray*} q^{2} = 1,9863378906249995 \end{eqnarray*}$ .

Die Gleichung 4. Grades ergibt sich zu $\begin{eqnarray*} y^{4}-\frac{171}{160}y^{2}-\frac{451}{320}y+\frac{3805269}{2560000}=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \sqrt{z_{1}\cdot z_{2}\cdot z_{3}} = -\frac{451}{320} \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Nun zur Herausforderung. Die Lösungen für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ergeben sich folgendermaßen.

$\begin{eqnarray*} y_{1}=\frac{\sqrt{-z_{1}}+\sqrt{-z_{2}}+\sqrt{-z_{3}}}{2} \end{eqnarray*}$ (1)

$\begin{eqnarray*} y_{2}=\frac{\sqrt{-z_{1}}-\sqrt{-z_{2}}-\sqrt{-z_{3}}}{2} \end{eqnarray*}$ (2)

$\begin{eqnarray*} y_{3}=\frac{-\sqrt{-z_{1}}+\sqrt{-z_{2}}-\sqrt{-z_{3}}}{2} \end{eqnarray*}$ (3)

$\begin{eqnarray*} y_{4}=\frac{-\sqrt{-z_{1}}-\sqrt{-z_{2}}+\sqrt{-z_{3}}}{2} \end{eqnarray*}$ (4)

Hierbei muss die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden, dass deren Produkt gleich $\begin{eqnarray*} q^{2} = 1,9863378906249995 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -q = 1,4093749999999998 \end{eqnarray*}$ ist.

Weiter heißt es, dass die Wurzeln

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3,6172518753208873} = -1,901907430797011 \end{eqnarray*}$ (5)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-0,7398759376604435 + 0,04138348565741522\cdot\hat{i}} = 0,024046284601492825 + 0,8604964622028259\cdot\hat{i} \end{eqnarray*}$ (6)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-0,7398759376604435 - 0,04138348565741522\cdot\hat{i}} = -0,024046284601492825 + 0,8604964622028259\cdot\hat{i} \end{eqnarray*}$ (7)

diese Bedingung erfüllen. Es ergeben sich somit folgende Werte für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} y_{1}=-0,9509537153985055 + 0,860496462202826\cdot\hat{i} \end{eqnarray*}$ (8)

$\begin{eqnarray*} y_{2}=-0,9509537153985055 - 0,860496462202826\cdot\hat{i} \end{eqnarray*}$ (9)

$\begin{eqnarray*} y_{3}=0,9749999999999983 \end{eqnarray*}$ (10)

$\begin{eqnarray*} y_{4}=0,9269074307970127 \end{eqnarray*}$ (11)

Nun zu meinen Fragen. Ich verstehe nicht, wie sich (8) - (11) ergeben. Der erste Ausdruck von (8) und (9) kann ich noch nachvollziehen, den komplexen nicht mehr. (10) und (11) sind für mich völlig intransparent. Wie entstehen die beiden Ausdrücke (6) und (7)? (5) ist ebenfalls, wahrscheinlich durch den fehlenden komplexen Teil, leicht nachvollziehbar.

Wenn ich mir (1) ansehe und die Werte für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ einsetze, ergeben sich für die zweite und dritte Wurzel doch negative Ausdrücke. Fallen diese dann nicht weg? Es würde sich somit lediglich (5) ergeben und damit ist der erste Ausdruck in (8) und (9) erklärbar wenn noch halbe genommen wird.

Tut mir leid, dass ich keine konkreteren Fragen stellen kann, aber ab (1) und ausufernd ab (6) kann ich einfach keine konkreteren Fragen formulieren. Ich hoffe dennoch, dass jemand Licht ins Dunkel bringen kann.

Viele Grüße

26.06.2017, 18:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von 3xplor3r
Wenn ich mir (1) ansehe und die Werte für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ einsetze, ergeben sich für die zweite und dritte Wurzel doch negative Ausdrücke. Fallen diese dann nicht weg? Es würde sich somit lediglich (5) ergeben und damit ist der erste Ausdruck in (8) und (9) erklärbar wenn noch halbe genommen wird.

So ist doch auch die Vorschrift - schau mal genau hin in den Nenner von (1)-(4). Nein, es sieht alles sehr gut aus: Konzentriere dich nochmal beim Nachrechnen, es stimmt schon!

P.S.: Bei (10) steigt der Verdacht eines Rundungsfehlers auf - und tatsächlich: Die exakte zugehörige Lösung von $\begin{align*} y^4-\frac{171}{160}y^2-\frac{451}{320}y+\frac{3805269}{2560000}=0 \end{align*}$ an der Stelle ist $\begin{align*} y_3 = \frac{39}{40} = 0.975 \end{align*}$ .

27.06.2017, 10:57

3xplor3r

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nein, es sieht alles sehr gut aus: Konzentriere dich nochmal beim Nachrechnen, es stimmt schon!

Danke für die Antwort. Ich habe jetzt noch mal etwa eine Stunde gerechnet, aber sehe es einfach nicht.

Wie ergeben sich (6) und (7)? Wie kann ich die Wurzel aus einem reellen und einem komplexen Teil ziehen? Warum wird der komplexe Ausdruck in (8) und (9) dem reellen aus (5) mit (6) und (7) zugerechnet?

Ich glaube ich übersehe lediglich ein kleines Detail und bin betriebsblind. Ich denke, wenn ich weiß, wie sich (6) und (7) ergeben, komme ich weiter. Könnt Ihr mir hier aufs Fahrrad helfen?

Viele Grüße

27.06.2017, 11:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von 3xplor3r
Wie ergeben sich (6) und (7)? Wie kann ich die Wurzel aus einem reellen und einem komplexen Teil ziehen?

Ok, das hatte ich nicht auf dem Schirm, dass du bereits bei der Berechnung der Wurzel von $\begin{align*} -0{,}7398759376604435 + 0{,}04138348565741522 i \end{align*}$ Probleme hast, das ist eigentlich Grundwissen zu komplexen Zahlen.

Und das geht wie üblich: Umwandlung in Polarform $\begin{align*} r\cdot e^{i\varphi} \end{align*}$ , die beiden komplexen Wurzeln sind dann $\begin{align*} \pm \sqrt{r}\cdot e^{i\frac{\varphi}{2}} \end{align*}$ . Welche davon du dann nimmst, hängt noch von deiner Zusatzbedingung

Zitat:

Original von 3xplor3r
Hierbei muss die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden, dass deren Produkt gleich $\begin{eqnarray*} q^{2} = 1,9863378906249995 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -q = 1,4093749999999998 \end{eqnarray*}$ ist.

ab.

28.06.2017, 11:59

3xplor3r

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Es tut mir echt leid, ich muss es jedoch in kleinere Schritte zerlegen. Ich hoffe, dass Du dennoch gewillt bist, weiter Unterstützung zu leisten.

Meine Erfahrung im Bereich der komplexen Zahlen liegen über 13 Jahre zurück. Das damalige Einsatzgebiet reduzierte sich in den Bereich der Elektrotechnik. Eine Umwandlung kartesischer und polare Koordinaten, weit gefehlt.

Meine Recherchen haben nun folgendes ergeben.

$\begin{eqnarray*} z=a+b\cdot i \end{eqnarray*}$ (Binominaldarstellung)

$\begin{eqnarray*} z=r\cdot \cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ (Polardarstellung)

$\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ lässt sich jetzt trivial berechnen, wobei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z=-0,7398759376604435 \pm 0,04138348565741522 \end{eqnarray*}$ bekannt sind.

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{eqnarray*}$

Nach

Zitat:

Original von HAL 9000
[...] die beiden komplexen Wurzeln sind dann $\begin{align*} \pm \sqrt{r}\cdot e^{i\frac{\varphi}{2}} \end{align*}$ .

ist dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{r}=0,86083237930895441249930024150715 \end{eqnarray*}$ , was dem zweiten Summand in (6) und (7) schon sehr nahe ist, jedoch nicht exakt.

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sollte sich nun zu $\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \end{eqnarray*}$ und damit zu $\begin{eqnarray*} \varphi=-0,05587475061058197493064864099006 \end{eqnarray*}$ ergeben.

Wenn ich es nun mal in Zahlen ausdrücke, würde sich für $\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ folgendes Bild ergeben.

$\begin{eqnarray*} \pm 0,86083237930895441249930024150715\cdot e^{i \left(-0,02793737530529098746532432049503 \right)} \end{eqnarray*}$

Ich kann ähnliche Zahlen wie in (6) erkennen, denke jedoch, dass ich nicht korrekt gearbeitet habe. Wie komme ich nun zu (6)? Kannst Du mich bitte noch etwas einnorden?

28.06.2017, 12:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von 3xplor3r
$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sollte sich nun zu $\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \end{eqnarray*}$ und damit zu $\begin{eqnarray*} \varphi=-0,05587475061058197493064864099006 \end{eqnarray*}$ ergeben.

Das stimmt so nur für positiven Realteil $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , also im ersten und vierten Quadranten. Für a<0 ist zusätzlich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu addieren oder subtrahieren, damit der Winkel in den richtigen Quadranten (also zwei bzw. drei) hüpft. Bei dir ist nun gerade das der Fall, also a<0.

28.06.2017, 14:26

3xplor3r

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Ich habe hier eine Fallunterscheidung gefunden.

Danach würde ich meine Aussage

Zitat:

zu

$\begin{eqnarray*} \varphi=\pi+\arctan\left(\frac{b}{a}\right)=3,0857178666348188609522564351977 \end{eqnarray*}$

korrigieren, zumindest für die Aussage $\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich folgendes Bild.

$\begin{eqnarray*} \pm 0,86083237930895441249930024150715\cdot e^{i\cdot1,5428589333174094304761282175989} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die oben erwähnte Polardarstellung noch mal aufführe, kommt für den reellen Teil jener für $\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ heraus, was ich gleichermaßen für interessant wie korrekt halte. Korrekt in dem Sinn, dass $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ richtig verwendet wird.

$\begin{eqnarray*} r\cdot \cos\left(\varphi\right)=-0,7398759376604435 \end{eqnarray*}$

Andere Zahlen, jedoch ähnliche Fragen. Wie gehe ich folglich mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\varphi}{2}} \end{eqnarray*}$ um?

28.06.2017, 14:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von 3xplor3r
Wenn ich die oben erwähnte Polardarstellung noch mal aufführe, kommt für den reellen Teil jener für $\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ heraus

Du drückst dich sehr ungenau aus. Wenn du das Wurzelziehen so wie beschrieben durchführst, dann kommt eine komplexe Zahl heraus, deren Quadrat wieder $\begin{align*} -z_2 = -0{,}73987+ 0{,}04138 i \end{align*}$ ist, das ist gewissermaßen die Probe, ja.

Zitat:

Original von 3xplor3r
Wie gehe ich folglich mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\varphi}{2}} \end{eqnarray*}$ um?

Verstehe den Sinn dieser Frage nicht: Bist du denn nicht gerade damit umgegangen, als du die Wurzel berechnet hast und dabei eben jenes $\begin{align*} \frac{\varphi}{2} = \frac{3{,}08572}{2} = 1{,}54286 \end{align*}$ als Zwischenresultat bekommen hattest? Erstaunt1

Ingesamt solltest du wohl mal intensiv das Rechnen mit komplexen Zahlen üben, insbesondere Potenzieren und Wurzelziehen basierend auf der Polardarstellung, und das Konvertieren hin und wieder zurück von Polar- und kartesische Darstellung. Sich nämlich gleich auf Gleichungen vierten Grades zu stürzen ohne ausreichende Kenntnis dieser Grundlagen ist ziemlich leichtsinnig.

29.06.2017, 10:27

3xplor3r

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du drückst dich sehr ungenau aus.

Ich versuche mit den mir gegebenen Voraussetzungen mein Bestes zu geben und kann mich gleichzeitig nur dafür entschuldigen.

Ich kann mal kurz ausholen, warum ich mich gleich mit Gleichungen 4. Grades beschäftige. In meinen Unterlagen der Universität steht ein Satz. Dort heißt es: "Der kritische Zinsfuß neben
$\begin{eqnarray*} i=10% \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} i=5,19% \end{eqnarray*}$ , das wars. Das hierbei mehrere Lösungsverfahren existieren, u. a. das Newton-Näherungsverfahren in Kombination mit einer Polynomdivision, das war mir Anfangs ebenfalls verborgen. Nun muss ich mit meinen gebrochenen Sprachkenntnissen versuchen über die Formel von Cardano und Tartaglia sowie Satz von Vieta zur Lösung zu kommen. Das mein Beispiel gleich über zwei komplexe Lösungen verfügt ist, sagen wir mal unschön. Es hilft alles nichts und ich hoffe einfach auf weitere, finale Unterstützung.

Zitat:

Original von HAL 9000
Verstehe den Sinn dieser Frage nicht: Bist du denn nicht gerade damit umgegangen, als du die Wurzel berechnet hast und dabei eben jenes $\begin{align*} \frac{\varphi}{2} = \frac{3{,}08572}{2} = 1{,}54286 \end{align*}$ als Zwischenresultat bekommen hattest? Erstaunt1

Das stimmt wohl. Durch die Addtition von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bekam ich das korrekte Zwischenresultat für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage,

Zitat:

Original von 3xplor3r
Wie gehe ich folglich mit dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\varphi}{2}} \end{eqnarray*}$ um?

sollte zum Inhalt haben, wie ich nun dieses Zwischenresultat in (6) und (7) überführe? Wie gelange ich nun zu meinen Eingangs erwähnten Ausdrücken (6) und (7)?

Zitat:

Original von 3xplor3r
$\begin{eqnarray*} 0,024046284601492825 + 0,8604964622028259\cdot\hat{i} \end{eqnarray*}$ (6)

$\begin{eqnarray*} -0,024046284601492825 + 0,8604964622028259\cdot\hat{i} \end{eqnarray*}$ (7)

29.06.2017, 10:35

HAL 9000

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Klemmt es daran, dass du die Formel $\begin{align*} e^{it} = \cos(t) + i\sin(t) \end{align*}$ nicht kennst? Die gilt natürlich auch für $\begin{align*} t=\frac{\varphi}{2} \end{align*}$ , d.h.,

$\begin{align*} e^{i\frac{\varphi}{2}} = \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von HAL 9000
Ingesamt solltest du wohl mal intensiv das Rechnen mit komplexen Zahlen üben, insbesondere Potenzieren und Wurzelziehen basierend auf der Polardarstellung, und das Konvertieren hin und wieder zurück von Polar- und kartesische Darstellung.

---> Matheboard-Workshop: Komplexe Zahlen

Ich kann es nur immer wieder wiederholen, bis du es endlich einsiehst.

01.07.2017, 17:51

3xplor3r

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich kann es nur immer wieder wiederholen, bis du es endlich einsiehst.

Das brauche ich nicht einsehen, das weiß ich. Wie schon leicht angerissen, habe ich einfach keine Zeit mich ausführlicher mit dem Thema komplexe Zahlentheorie auseinander zu setzen.

Daher bedanke ich mich nochmals abschließend an dieser Stelle für Deine Hilfe und werde das Thema nicht weiter verfolgen.

01.07.2017, 17:56

Elvis

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Das ist keine komplexe Zahlentheorie. Zahlentheorie ist eine außerordentlich interessante und schwierige Theorie. Hier geht es nur um einfachste Grundlagen.
David Hilbert hat gesagt: "Wir müssen wissen, wir werden wissen." (In dem Zusammenhang, in dem er das gesagt hat, hat er sich geirrt. Was dein Grundwissen angeht hat er recht, das muss besser werden.)
Ich finde es unfair, wenn du dir das Thema "komplexe Zahlen" selbst beibringen musst. Gibt es in deiner Uni keine einführenden Vorlesungen in die "Höhere Mathematik" oder in "Grundlagen der Algebra" oder in "Elementare Zahlentheorie" oder in "Funktionentheorie" oder was auch immer sich mit diesem Thema 2 Stunden lang beschäftigt ?

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