Ist jeder Vektorraum automatisch ein Ring?

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Vektorraumring Auf diesen Beitrag antworten »
Ist jeder Vektorraum automatisch ein Ring?
Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine kurze Frage:

Ist jeder Vektorraum automatisch auch ein Ring?
Ich habe eine Menge gegeben mit zwei Verknüpfungen.
Davon habe ich gezeigt, dass es sich um einen Vektorraum handelt.
Nun soll ich zeigen, dass es ein Ring ist.

Aber ich weiß ja bereits, dass es ein Vektorraum ist und meiner Meinung nach ist jeder Vektorraum schon automatisch ein Ring, da die Ringaxiome erfüllt sind.

Sehe ich das falsch?

Vielen Dank.

Meine Ideen:
.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenfrage:

Wir nehmen die Menge zusammen mit den Verknüpfungen , wobei die gewöhnliche Addition auf ist. Du stimmst sicher zu, dass das, zusammen mit der üblichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist.

Wenn ich jetzt aber für alle definiere. Dann ist das doch sicherlich keine Verknüpfung, die zu einem Ring macht, stimmst du da zu? Es ist also durchaus sinnvoll, zu fragen, ob eine gegebene Verknüpfung eine Ringmultiplikation ist oder nicht, denn ganz offensichtlich ist nicht jede beliebige Verknüpfung eine Ringmultiplikation, wie dieses Beispiel zeigt.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann natürlich ahnen, was der Fragesteller meint, aber es ist völlig vergurkt formuliert, weil wesentliche Angaben/Voraussetzungen oben fehlen:

Vermutlich geht es um einen Vektorraum über einem Körper , wo speziell gilt, und wo die erste Verknüpfung die Vektorraumaddition ist und mit der zweiten Verknüpfung die Skalarmultiplikation in diesem Vektorraum gemeint ist.

Für ist die Frage von vornherein absurd, soviel zu dem "jeder".
Vektorraumring Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es handelt sich in beiden Fällen um die gleichen Verknüpfungen.
Es geht um die Menge der Polynome vom Grad kleiner oder gleich zwei mit der üblichen Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen.

@clearly_wrong:

Wir die Menge mit dieser Verknpfüng $xy=\pi$ denn zu einem Vektorraum?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich mich getäuscht, und du bist doch auf dem Holzweg:

Zitat:
Original von Vektorraumring
Es geht um die Menge der Polynome vom Grad kleiner oder gleich zwei mit der üblichen Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen.

1) Die Vektorraum-Skalarmultiplikation nur mit reellen Zahlen ist doch nicht automatisch eine Multiplikation innerhalb der Menge "Polynome vom Grad kleiner oder gleich zwei". Sowas benötigst du aber für den Ring. unglücklich

2) Falls du stattdessen die Polynommultiplikation meinst, dann passt die auch nicht, denn diese führt gradmäßig aus dem Bereich "Grad kleiner oder gleich zwei" heraus. unglücklich

Wie willst du da wieder herauskommen? verwirrt
Vektorraumring Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, also addiert werden soll so:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

und multipliziert werden soll so:

(r*f)(x)=r*f(x), wobei r eben eine reelle Zahl ist und f, g Polynome vom Grad kleiner gleich 2.
Das führt also nicht aus der Menge heraus.

Und dafür weiß ich ja bereits, dass es ein Vektorraum ist.
Ist es nun auch automatisch ein Ring?
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist es nun auch automatisch ein Ring?

Nein. In einem Vekltorraum ist per se kein Produkt von zwei Vektoren(!) erklaert. Es muesste sogar wieder ein Vektor(!) als Produkt rauskommen, damit man ueber einen Ring ueberhaupt diskutieren koennte. Ein Vekrorraum kann deshalb keinesfalls automatisch ein Ring sein, es fehlen die unabdingbaren Grundlagen dazu: Man hat kein Produkt von Vektoren.

Wenn man eines hat, dann heisst so ein Vektorraum eine Algebra. In 3D kann man z.B. das Kreuzprodukt nehmen. Da steckt man zwei Vektoren rein und es kommt auch wieder einer raus, und es ist auch distributiv. Das Vektorprodukt ist aber nicht assoziativ, -- also trotzdem kein Ring. Obendrein ist es auch nicht kommutativ und es gibt auch keine Eins.
Vektorraumring Auf diesen Beitrag antworten »

Ist der Vektorraum im angegebene Fall denn automatisch ein Ring?
Es ist ja nur die multiplikation mit einer reellen Zahl.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Ring multipliziert man alle Ringelemente miteinander. Ich bin jetzt schon der 5., der antwortet, und die Antwort ist immer dieselbe: DAS IST KEIN RING !
Vektorraumring Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Aufgabe ist zu zeigen, dass es ein Ring ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist es wohl höchste Zeit, dass du den originalen Wortlaut der Aufgabenstellung nennst, ohne jegliche Umformulierungen oder Interpretationen deinerseits.
Vektorraumring Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass die Menge der Polynome vom Grad kleiner gleich 2 mit der üblichen Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen einen Ring bildet.

Als Zusatz dann noch: Dies bedeutet, dass ein Polynom ein Vektor ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du dem Aufgabensteller nahelegen, die Definition eines Rings noch einmal nachzuschlagen.

Spaß beiseite: ich würde an deiner Stelle nachfragen, wie die Aufgabenstellung zu verstehen ist, da man für eine Ringmultiplikation nicht nur reelle Zahlen mit Polynomen sondern Polynome mit Polynomen multiplizieren dürfen muss.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, entweder hatte der Aufgabensteller einen gigantischen Aussetzer, oder aber er will auf diese Weise etwas Basiswissen der Studenten testen - letzteres hätte aber in dieser Form etwas leicht boshaftes an sich. Augenzwinkern
Vektorraumring Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten und Entschuldigung, dass ich nicht direkt die originale Aufgabenstellung gepostet habe.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hinweis: es handelt sich um einen "Trollpost" von Gmasterflash. Sorry dass ich das nicht früher mal überprüft habe..
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