Zeigen, dass K[x] ein K-Vektorraum ist

26.06.2017, 17:47

LaLiLuLinsky

Zeigen, dass K[x] ein K-Vektorraum ist

Hallo zusammen,

ich habe mal wieder eine Übungsaufgabe, bei der ich auf dem Schlauch stehe.

Sie lautet:

Sei K ein Körper und sei $\begin{eqnarray*} K\left[x\right] = \left\{ \sum\limits_{i=0}^{n} a_i x^i \bigg \vert a_1,...,a_n \in K , n\in \mathbb N_0 \right\} \end{eqnarray*}$ wobei x eine Unbekannte ist.

Zeigen Sie, dass K[x] mit der Polynomaddition und der Skalarmultiplikation
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \sum\limits_{i=0}^{n} a_i x^i = \sum\limits_{i=0}^{n} \lambda a_i x^i \; \;\forall \lambda \in K \end{eqnarray*}$

ein K Vektorraum ist.

Jetzt zu meinem Ansatz:

Ich muss also zeigen, dass es sich beim Vektorraum V um eine abelsche Gruppe handelt, sowie dass für alle r,s aus K, sowie v,w aus V gilt:

(V1) r*(v+w) = r*v+r*w
(V2) (r+s)*v = r*v+s*v
(V3) (r*s)*v = r*(s*v)
(V4) 1*v=v

Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich bei diesem etwas "komischen" bzw "komplizierten" Körper ansetzen soll. Haben das Ganze bis jetzt nur mit Körpern wie dem R gemacht.

Schon mal vielen Dank!

26.06.2017, 18:42

Elvis

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Wenn es dir leichter fällt, dann schreibe in allen Formeln $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Wenn du mit dem Beweis fertig bist, kannst du zur Freude des Aufgabenstellers das gesamte Kunstwerk abschreiben und jedes Auftreten von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ersetzen. Augenzwinkern

Jetzt mal ernsthaft: Für einen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum braucht man immer einen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , für diesen gelten alle Körper-Axiome genau so wie für den Körper der reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist ein spezieller Körper, der die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ als Teilkörper enthält, total geordnet und vollständig bezüglich des Absolutbetrags ist. In der linearen Algebra braucht man die Eigenschaften der reellen Zahlen nicht, um Vektorräume zu definieren. Erst für euklidische Vektorräume wird $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ interessant, weil man mit dem Skalarprodukt eine Norm, damit eine Metrik und Winkel definieren kann (Geometrie).

28.06.2017, 16:01

LaLiLuLinsky

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Okay, es ist ja schon mal ganz hilfreich, das zu wissen.
Allerdings frage ich mich, wie jeweils ein Element aus K und eines aus V aussieht. Kann mir das jemand kurz zeigen?

28.06.2017, 17:58

Elvis

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$\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n\in K, \sum_{i=0}^na_ix^i\in V=K[x] \end{eqnarray*}$ das sind Elemente aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , so steht es in deiner Definition. Auch das Wort "Polynomaddition" steht in deiner Aufgabe, ich hoffe,es ist dir klar, dass $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ der Polynomring über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in einer Unbestimmten und die Elemente Polynome sind.

28.06.2017, 21:25

LaLiLuLinsky

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n\in K, \sum_{i=0}^na_ix^i\in V=K[x] \end{eqnarray*}$ das sind Elemente aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , so steht es in deiner Definition. Auch das Wort "Polynomaddition" steht in deiner Aufgabe, ich hoffe,es ist dir klar, dass $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ der Polynomring über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in einer Unbestimmten und die Elemente Polynome sind.

Das das der Polynomring über K in einer Unbestimmten ist, ist mir mehr oder weniger klar. Allerdings weiß ich nicht, in wie weit mir das für die Aufgabe hilft

29.06.2017, 09:37

Elvis

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Das hilft enorm, denn ein Ring (R,+,*) ist insbesondere eine abelsche Gruppe (R,+). Das ist schon "fast" ein Vektorraum, und du musst nur noch (V1) bis (V4) beweisen.

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