Kern einer linearen Abbildung bestimmen

26.06.2017, 22:04	wondering1123	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern einer linearen Abbildung bestimmen Meine Frage: es sei die Abbildung $\begin{eqnarray} <br /> \phi :\mathbb R [X]\to M_{2 \times 2} \\<br /> <br /> \sum\limits_{i=1}^{d} r_i X^i \to \sum\limits_{i=1}^{d} r_i A^i<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Man soll den Kern von phi berechnen wenn $\begin{eqnarray} <br /> <br /> A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: mein Ansatz wäre $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{i=o}^d r_i A^i = 0 \\<br /> <br /> A^1,A^2, A^3, A^4 \\<br /> <br /> <br /> r_0 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+ r_1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}+ r_2 \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}+ r_3 \begin{pmatrix} 0& -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+ r_4\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0<br /> <br /> \end{eqnarray}$ ich hoffe es kann jemand helfen :/ ich darf die Aufgabe nicht mit dem Cayley-Hamilton Theorem lösen...und bin seit etlichen Stunden an soeiner einfach wirkenden Aufgabe.. LG
26.06.2017, 22:13	wonderin1123	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss das Minimalpolynom bestimmen richig? und wenn ich es bestimmt habe....wie bekomme ich den Kern heraus? :0
26.06.2017, 22:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Minimalpolynom erkennst du sofort an den drei ersten Potenzen von A, und der Kern ist das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.
26.06.2017, 23:01	wonderin1123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Ihre Antwort !! wie bestimme ich denn das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal? ich finde im Internet nur verschiedene Sachen, die ich nicht wirklich anwenden kann
27.06.2017, 08:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Internet weiß nichts. Ich weiß etwas. Du musst etwas wissen. $\begin{eqnarray} Kern (\phi)=(\mu)=\mu\mathbb R[X] \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \mu(A)=0\Rightarrow \mu(A)f(A)=0 \end{eqnarray}$ Nachtrag: Brauchen wir noch eine Zusatzüberlegung ? Jedenfalls ist nach obigem klar, dass $\begin{eqnarray} (\mu)\subseteq Kern(\phi) \end{eqnarray}$ gilt. Warum gilt auch die umgekehrte Teilmengenrelation ?

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