Brownsche Bewegung; Stoppzeit

27.06.2017, 11:05

BB57

Brownsche Bewegung; Stoppzeit

Hallo zusammen, zurzeit werke ich an folgernder Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} P_x \end{eqnarray*}$ der Wahrscheinlichkeitsmaß der in $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ gestarteten BB, $\begin{eqnarray*} T_a := \inf \left\{t\ge 0 : | | B_t| |_2 =a\right\} \end{eqnarray*}$ Stoppzeit für $\begin{eqnarray*} a\ge 0 \end{eqnarray*}$ .

ZEIGE: $\begin{eqnarray*} P(T_a <T_b)= \frac{ln b - ln | | x | |_2 }{ln b - ln a} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} d=2 \end{eqnarray*}$

Betrachte $\begin{eqnarray*} f(x)= ln | | x | | \end{eqnarray*}$ und nutze die Ito-Formel.

Kann mir jemand dabei helfen?

27.06.2017, 11:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von BB57
ZEIGE: $\begin{eqnarray*} P(T_a <T_b)= \frac{ln b - ln | | x | |_2 }{ln b - ln a} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} d=2 \end{eqnarray*}$

Ich wundere mich ein wenig über das Ergebnis: Im Fall $\begin{align*} \|x\|_2 < a < b \end{align*}$ kommt hier ein Wahrscheinlichkeitswert >1 heraus. Erstaunt1

Oder ist es so gemeint, dass nur Startpunkte $\begin{align*} x \end{align*}$ mit $\begin{align*} a < \|x\|_2 < b \end{align*}$ betrachtet werden sollen? Steht aber oben nicht da!

27.06.2017, 11:22

57BB

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Ja, geanu das ist gemeint: $\begin{eqnarray*} a < | |x | |_2 <b \end{eqnarray*}$ . Habe es vergessen zu erwähnen.

27.06.2017, 11:47

HAL 9000

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Hmm, mir fehlen ein wenig die Werkzeuge, wie es hier weitergehen könnte. Irgendwie wird man wohl ausgehend vom zweidimensionalen $\begin{align*} B_t \end{align*}$ den eindimensionalen Prozess $\begin{align*} X_t := \ln\left( \left\| B_t \right\|_2 \right) \end{align*}$ definieren, der startet in $\begin{align*} X_0 := \ln\left( \left\| x \right\|_2 \right) \end{align*}$ und es wird untersucht, ob er nun zuerst nach unten $\begin{align*} \ln(a) \end{align*}$ oder nach oben $\begin{align*} \ln(b) \end{align*}$ durchbricht.

Außerdem ist $\begin{align*} \left\| B_t \right\|_2 = \sqrt{ {}_x\!W_t^2 + {}_y\!W_t^2 } \end{align*}$ für deine Raumdimension $\begin{align*} d=2 \end{align*}$ , wobei ich mit $\begin{align*} {}_x\!W_t \end{align*}$ und $\begin{align*} {}_y\!W_t \end{align*}$ die Komponenten der BB meine, ganz normale eindimensionale Wienerprozesse.

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