Attraktor der Cantormenge

27.06.2017, 18:23

forbin

Attraktor der Cantormenge

Hallo,

ich verstehe den Begriff des Attraktors im Bezug auf die Cantormenge nicht.
Ich habe folgenden Abschnitt aus dem Falconer:

[attach]44769[/attach]

Was ich nicht verstehe:
Wenn ich die Abbildung $\begin{eqnarray*} S_{1} \text{ und } S_{2} \end{eqnarray*}$ auf die Menge F anwende, dann kommen doch eben nicht zwei Hälften heraus, sondern zwei Drittel (der Menge F).
Diese vereinigt sind also nicht die Menge F verwirrt

28.06.2017, 09:30

Leopold

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'halves' steht ja in Anführungszeichen. Vielleicht ist Folgendes gemeint: Das Intervall $\begin{align*} \left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right) \end{align*}$ enthält ja gar keine Punkte des Cantorschen Diskontinuums. Die eine "Hälfte" der Punkte liegt daher im Intervall $\begin{align*} \left[ 0 , \frac{1}{3} \right] \end{align*}$ , die andere "Hälfte" im Intervall $\begin{align*} \left[ \frac{2}{3} , 1 \right] \end{align*}$ . Und natürlich kann man bei unendlich vielen Punkte schlecht von "Hälfte" sprechen, daher die Anführungszeichen. Die beiden "Hälften" gehen durch einfache Translation auseinander hervor.

28.06.2017, 10:11

forbin

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Ok, aber eines verstehe ich einfach nicht:
Der Attraktor A ist ja $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^{m}s_{i}(A) \end{eqnarray*}$ .
Im Falle der cantormenge habe ich ja zwei Kontraktionen $\begin{eqnarray*} s_{1}, s_{2} \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich diese doch nun auf A (also auf die beiden "Hälften") anwende, erhalte ich doch vier "Viertel", oder nicht?

28.06.2017, 10:35

Leopold

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Die Frage ist wohl, was mit "the middle third Cantor set" gemeint ist. Vielleicht soll dies das Komplement der Cantormenge bezüglich des Einheitsintervalls bezeichnen. verwirrt

28.06.2017, 10:50

forbin

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Daran habe ich auch erst gehangen, aber das ist die englische Bezeichnung für die Cantormenge, bzw. Die Mittel-Drittel-Menge.

28.06.2017, 10:56

Leopold

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Dann paßt es doch. Du sollst ja $\begin{align*} S_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} S_2 \end{align*}$ auf $\begin{align*} F \end{align*}$ , also die Cantormenge, anwenden. Dann liefert $\begin{align*} S_1 \end{align*}$ dir die "linke Hälfte" und $\begin{align*} S_2 \end{align*}$ die "rechte Hälfte".

$\begin{align*} F = S_1(F) \cup S_2(F) \end{align*}$

EDIT
Schreibfehler korrigiert

28.06.2017, 11:23

forbin

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Wo steckt mein Fehler?

Ich nehme I=[0,1].
Nun wende ich die beiden Kontraktionen an, die liefern mir die Menge F=[0, 1/3] u [2/3, 1].
Dies ist der Aussage nach ja mein Attraktor. Das heißt, wenn ich die beiden Kontrationen darauf anwende, ändert sich nichts.
Aber wenn ich sie anwende, erhalte ich doch:
[0,1/9] u [2/3, 7/9] u [2/9, 1/3] u [8/9, 1].
Vorausgesetzt ich hab mich gerade nicht verrechnet, das u steht für Vereinigung.
Worauf ich hinauswill: das ist ja nun nicht mehr die Menge F, sondern eine andere Menge.

Das verstehe ich nicht.
Der Attraktor soll sich ja nicht ändern. Hat er aber doch hier?

28.06.2017, 11:29

Leopold

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Zitat:

Original von forbin
Wo steckt mein Fehler?

Ich nehme I=[0,1].

Das sollst du aber gar nicht (siehe meinen vorigen Beitrag).

28.06.2017, 11:35

forbin

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Tut mir leid, dass verstehe ich nicht. Aber ich habe wahrscheinlich einen falschen Begriff DER cantormenge?
Ist der Attraktor der "endzustand" dieser Menge ? Also der Grenzwert sozusagen?

28.06.2017, 11:56

Leopold

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Man kann und soll natürlich Definitionen hinterfragen. Auf jeden Fall aber muß man sie hinnehmen.

[attach]44776[/attach]

Im übrigen ist $\begin{align*} F \end{align*}$ als Attraktor des IFS $\begin{align*} \mathfrak{S} = \{ S_1,S_2 \} \end{align*}$ definiert. In deiner Überschrift verdrehst du das und sprichst von "Attraktor der Cantormenge".

28.06.2017, 12:38

forbin

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Kann es sein, dass ich den Attraktor der Cantormenge weder grafisch noch als Vereinigung von Mengen darstellen kann?

28.06.2017, 13:10

Leopold

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Du verdrehst das schon wieder. Als habe die Cantormenge einen Attraktor. Nach dem Text der Aufgabe ist aber die Cantormenge selbst der Attraktor, und zwar der Attraktor des Systems $\begin{align*} \mathfrak{S} = \{ S_1, S_2\} \end{align*}$ . So verstehe ich jedenfalls den Aufgabentext.

28.06.2017, 14:28

forbin

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Ah, ich glaube jetzt ist der Groschen gefallen geschockt

Zitat:

Die Cantormenge ist der Attraktor.

Würde ich also das Intervall $\begin{eqnarray*} I=\left[0,1\right] \end{eqnarray*}$ nehmen und das IFS $\begin{eqnarray*} \left\{I: s_{1},s_{2}\right\} \end{eqnarray*}$ darauf anwenden, ist die Cantormenge der Attraktor. (Spricht man das so?)

28.06.2017, 15:17

Leopold

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Noch nicht ganz gefressen ...
Entscheide selbst, ob $\begin{align*} I = S_1(I) \cup S_2(I) \end{align*}$ gilt. Dann ist $\begin{align*} I \end{align*}$ Attraktor. Sonst nicht.

28.06.2017, 15:51

exile007

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@forbin

Es sieht so aus, als schwirrt dir im Kopf die Mengenfolge

$\begin{eqnarray*} I_{n+1} = S_1(I_n)\cup S_2(I_n) \end{eqnarray*}$ mit Start $\begin{eqnarray*} I_0=[0,1] \end{eqnarray*}$

herum, für die ja tatsächlich im Grenzprozess $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} I_n = \bigcap_{n\geq 0} I_n = F \end{eqnarray*}$ herauskommt, das meinst du möglicherweise mit "darauf anwenden". Dieser Prozess mag damit im Zusammenhang stehen, aber ist dennoch gedanklich zu trennen von der eigentlichen Definition des Attraktors als Fixpunkt der kontrahierenden Abbildung $\begin{eqnarray*} M\mapsto S_1(M)\cup S_2(M) \end{eqnarray*}$ .

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