Varianz

27.06.2017, 22:53

Tineine

Varianz

Meine Frage:
Wir sollen durch eine einfach Umformung zeigen, dass sich die Varianz auf zwei Wege berechnen soll, aber leider komme ich nicht darauf. Es geht dabei um die pixelweise Berechnung eines 2D Bildes im Kurs Bildverarbeitung.

dabei soll das:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{M*N} \sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{n=0}^{N-1}(f(m,n)-m_{f})^{2} \end{eqnarray*}$

mit dem Mittelwert $\begin{eqnarray*} m_{f} = \frac{1}{M*N} \sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(m,n) \end{eqnarray*}$

...das gleich sein wie:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{M*N} \sum\limits_{m=0}^{M-1}\sum\limits_{n=0}^{N-1}f(m,n)^2-m_{f}^{2} <br /> \end{eqnarray*}$

Kann jemand helfen?

Meine Ideen:
Habe versucht die binomischen Formeln auszumultiplizieren und die Summen auseinanderzuziehen, aber da komme ich nicht weiter.

28.06.2017, 10:24

Leopold

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In den folgenden Summen wird über alle ganzen Zahlen $\begin{align*} m,n \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0 \leq m \leq M-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} 0 \leq n \leq N-1 \end{align*}$ summiert.

Das arithmetische Mittel $\begin{align*} m_f \end{align*}$ ist

$\begin{align*} m_f = \frac{1}{MN} \sum_{m,n} f(m,n) \end{align*}$

Und jetzt kannst du die erste Summe (ohne Vorfaktor) umformen. Und "binomische Formel" ist das richtige Stichwort:

$\begin{align*} \sum_m \sum_n \left( f(m,n) - m_f \right)^2 \ = \ \sum_{m,n} \left( f(m,n) - m_f \right)^2 \ = \ \sum_{m,n}\left( f(m,n \right)^2 \ - \ 2 m_f \color{red }\sum_{m,n} f(m,n) \color{black} \ + \ MN \cdot {m_f}^2 \end{align*}$

Versuche, die einzelnen Schritte der Umformung nachzuvollziehen. Dann mußt du nur noch erkennen, was sich hinter der zweiten Summe verbirgt.

Das Ganze ist komplizierter dargestellt, als es in Wahrheit ist. Wenn du dir vorstellst, du hättest eine Abzählung der $\begin{align*} I = MN \end{align*}$ Paare $\begin{align*} (m,n) \end{align*}$ , also die Paare irgendwie durchnumeriert, z.B. so

$\begin{align*} p_0 = (0,0), \, p_1 = (0,1), \, p_2 = (0,2), \, \ldots \, , p_{I-1} = (m-1,n-1) \end{align*}$

dann würde sich die Doppelsummation auf eine Einfachsummation reduzieren:

$\begin{align*} m_f = \frac{1}{I} \sum_{i=0}^{I-1} f(p_i) \end{align*}$

Und die erste Summe würde

$\begin{align*} \sum_{i=0}^{I-1} \left( f(p_i) - m_f \right)^2 \end{align*}$

lauten. Und dann erkennt man darin das typische Vorgehen beim Beweis der Regel

$\begin{align*} \operatorname{var}(X) = \mathcal{E} \left( \left( X - \mathcal{E} (X) \right)^2 \right) = \mathcal{E} \left( X^2 \right) - \left( \mathcal{E}(X) \right)^2 \end{align*}$

für diskrete Zufallsgrößen $\begin{align*} X \end{align*}$ (siehe zum Beispiel hier, 67.12 auf Seite 4).

Und hier habe ich eine schöne Erklärung für die wichtigsten statistischen Kenngrößen gefunden. Das, was bei uns $\begin{align*} f(p_i) \end{align*}$ heißt, ist im Video $\begin{align*} x_i \end{align*}$ , und unser $\begin{align*} m_f \end{align*}$ ist dort $\begin{align*} \bar{x} \end{align*}$ .

28.06.2017, 14:19

Tinine

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Varianz auf zwei Arten rechnen
Hallo,

danke, das hilft mir schon etwas weiter.
Diese zweite Summe entspricht dann dem Mittelwert würde ich sagen?
Was mir nicht ganz klar beim Nachvollziehen der Umformung ist, warum vor $\begin{eqnarray*} m_{f}^{2} \end{eqnarray*}$ M*N steht.

Das müsste dann weiter so aussehen, aber was mache ich mit dem MN und wo kommt es genau her?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n,m} (f(m,n)^{2}-2\cdot m_{f}^{2} + MN\cdot m_{f}^2 \end{eqnarray*}$

28.06.2017, 15:31

Leopold

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RE: Varianz auf zwei Arten rechnen

Zitat:

Original von Tinine
Was mir nicht ganz klar beim Nachvollziehen der Umformung ist, warum vor $\begin{eqnarray*} m_{f}^{2} \end{eqnarray*}$ M*N steht.

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{152} a \ = \ \underbrace{a + a + a + \ldots + a}_{\text{von} \ 0 \ \text{bis} \ 152} \ = \ 153a \end{align*}$

Zitat:

Original von Tinine
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n,m} (f(m,n)^{2}-2\cdot \color{red} m_{f}^{2} \color{black} + MN\cdot m_{f}^2 \end{eqnarray*}$

Fast ...

28.06.2017, 15:46

Tinine

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Varianz auf zwei Arten rechnen
Dann so:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m,n} (f(m,n)^2 - 2 * MN*m_{f}^2 + MN * m_{f}^2) \end{eqnarray*}$
daraus wird:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m,n} (f(m,n)^2 - MN*m_{f}^2) \end{eqnarray*}$
und dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{MN} \sum\limits_{m,n} (f(m,n)^2 - m_{f}^2) \end{eqnarray*}$

28.06.2017, 15:50

Leopold

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Vorsicht! Falsche Klammern!
Und arbeite mit Gleichungen, nicht mit hingeworfenen Termen. Sonst kann man Zusammenhänge nicht erkennen.

28.06.2017, 16:19

Tinine

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Varianz
[quote]Original von Leopold
In den folgenden Summen wird über alle ganzen Zahlen $\begin{align*} m,n \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0 \leq m \leq M-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} 0 \leq n \leq N-1 \end{align*}$ summiert.

Und jetzt kannst du die erste Summe (ohne Vorfaktor) umformen. Und "binomische Formel" ist das richtige Stichwort:

$\begin{align*} \sum_m \sum_n \left( f(m,n) - m_f \right)^2 \ = \ \sum_{m,n} \left( f(m,n) - m_f \right)^2 \ = \ \sum_{m,n}\left( f(m,n \right)^2 \ - \ 2 m_f \color{red}\sum_{m,n} f(m,n) \color{black} \ + \ MN \cdot {m_f}^2 \end{align*}$

Alles klar, stimmt, das muss ich beachten.

Könntest du mir nochmal kurz erklären, wie das mit dem Vorfaktor 1/ MN vor den zwei Summen genau ist?
Hier fehlt noch schließende Klammer, ist die da (rot) richtig? Tut mir Leid, dass ich so nachhake, aber das ist mir nicht ganz klar, wie das läuft und ich würde es gern verstehen.

$\begin{align*} \sum_{m,n}\left( f(m,n \right)^2 \ - \ 2 m_f \color{black}\sum_{m,n} f(m,n)\color{black} \color{red} \ ) \color{black} \ + \ MN \cdot {m_f}^2 \end{align*}$

28.06.2017, 17:38

HAL 9000

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Das hast du missverstanden, die tatsächlich fehlende schließende Klammer kommt ganz woanders hin:

$\begin{align*} \sum_m \sum_n \left( f(m,n) - m_f \right)^2 = \sum_{m,n} \left( f(m,n) - m_f \right)^2 = \sum_{m,n}\left( f(m,n{\color{red })} \right)^2 - 2 m_f \sum_{m,n} f(m,n) + MN\cdot m_f^2 \end{align*}$

28.06.2017, 20:05

Leopold

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RE: Varianz auf zwei Arten rechnen

Zitat:

Original von HAL 9000
Das hast du missverstanden, die tatsächlich fehlende schließende Klammer kommt ganz woanders hin:

$\begin{align*} \sum_m \sum_n \left( f(m,n) - m_f \right)^2 = \sum_{m,n} \left( f(m,n) - m_f \right)^2 = \sum_{m,n}\left( f(m,n{\color{red })} \right)^2 - 2 m_f \sum_{m,n} f(m,n) + MN\cdot m_f^2 \end{align*}$

Ok, die fehlte. Big Laugh

Ich dachte aber eher an das hier:

Zitat:

Original von Tinine
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m,n} \color{red} ( \color{black} f(m,n)^2 - 2 * MN*m_{f}^2 + MN * m_{f}^2 \color{red} ) \end{eqnarray*}$

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