Herleitung Mittelwert einer Funktion

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AP0 Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Mittelwert einer Funktion
Hallo zusammen,

Ich habe ein kleines Verständnisproblem zum Mittelwert einer Funktion.
Und zwar sind in dem Bild einmal der Graph der Funktion f und der Mittelwert m (als y=m) zu sehen. (Es geht nur um das Intervall [a;b])
Jetzt habe ich gelesen, dass m nur dann der Mittelwert der Funktion f ist, wenn die beiden Flächen, die jeweils von f und y=m eingegrenzt werden, den selben Flächeninhalt besitzen.
Aber warum muss das so sein?
Komme echt nicht weiter, ich hoffe auf eure Hilfe...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

.. weil in dem Intervall die Fläche des von begrenzten Rechteckes gleich der Fläche des Funktionsgraphen mit der x-Achse ist.
Dies ist übrigens die Voraussetzung für die Definition des Mittelwertes.

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Integrale liefern mehr wie einen simplen Flächeninhalt. Das Riemann-Integral wird zwar mit kleinen Rechteckflächen motiviert, trotzdem muss

nicht positiv sein. In diesem Sinne sind "Flächen" erst einmal Vorzeichenbehaftet.

der Mittelwert einer Funktion in einem Intervall ist das Integral geteilt durch die Intervallbreite. Daraus kann man gewisse Dinge über Flächen folgern.

wenn eine Rangierlock den ganzen Tag hin und herfährt ( f= v(t) ) und diese am Abend wieder am Ausgangspunkt steht, kann man folgern, dass die Summe der Vorzeichen-behafteten Wege Null, sowie ist aber auch, dass die Summe der Linkswegstrecken gleich der Summe der Rechtswegstrecken ist.
Die Summe beider Wege ist dann die Tagesrangierstrecke >0. Im anderen Falle steht Null auf dem Tageskilometerzähler was als Nachweis geleisteter Arbeit nicht eben gut ankommt Augenzwinkern
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