Differentialrechnung Textaufgabe

28.06.2017, 10:22	diego09	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechnung Textaufgabe Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe vorliegen, bei der ich nicht mal den Hauch eines Ansatzes habe, wie ich vorgehen soll. Die Aufgabe steht im Themenbereich Differentialrechnung. Es wäre nett, wenn ihr mir ein paar Gedankenstützen gebt, damit ich wenigstens einmal anfangen kann die Aufgabe zu bearbeiten. Danke und Gruß, diego
28.06.2017, 10:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]44775[/attach] Wenn du aus dem Netz eine Schachtel baust, bekommt sie $\begin{align} \color{red} x,y,z \end{align}$ als Länge, Breite und Höhe. Nimm an, das Quadrat habe die Kantenlänge $\begin{align} \color{blue} a \end{align}$ . Drücke dann $\begin{align} x,y,z \end{align}$ mit Hilfe von $\begin{align} a \end{align}$ und $\begin{align} h \end{align}$ aus (zum Beispiel ist $\begin{align} z=h \end{align}$ ). Dann kannst du im Volumen $\begin{align} V = xyz \end{align}$ die Größen $\begin{align} x,y,z \end{align}$ entsprechend ersetzen und bekommst $\begin{align} V=V(h) \end{align}$ als Funktion von $\begin{align} h \end{align}$ . Die Größe $\begin{align} a \end{align}$ fungiert als Parameter.
28.06.2017, 12:20	diego09	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt, danke dir Leopold, vor allem für deine Mühe mit dem Bearbeiten des Screenshots. Habe folgendes gemacht: x = a-2h y = 1/2a -h z = h V(h) = (a-h) * (1/2a - h) * h V(h) = 2h^3 - 2ah^2 + 1/2(a^2)h V'(h) = 6h^2 - 4ah + 1/2a^2 V'(h) = 0 gesetzt und Nullstellen ermittelt. Diese sind 1/2a und 1/6a. Beide Nullstellen in V''(h) = 12h - a eingesetzt. V''(1/2a) > 0 --> Tiefpunklt V''(1/6a) < 0 --> Hochpunkt und damit die Lösung der Aufgabe. Sollte so passen oder?
28.06.2017, 13:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis stimmt, die Begründung aber holpert. Wenn wir genau sein wollen, müssen wir noch ein paar Dinge beachten. Zu einer Funktion gehört immer auch die Angabe des Definitionsbereichs. Zunächst erkennt man, daß $\begin{align} y = \frac{1}{2} x \end{align}$ ist. Da $\begin{align} x,y,z \end{align}$ als Streckenlängen positiv, im Extremfall 0, sein müssen, folgt: $\begin{align} V(h) = \frac{1}{2} h \left( a - 2h \right)^2 \, , \ \ 0 \leq h \leq \frac{1}{2} a \end{align}$ Der erste Teil der das Definitionsintervall $\begin{align} I = \left[ 0 , \frac{a}{2} \right] \end{align}$ festlegenden Ungleichung ergibt sich aus der $\begin{align} z \end{align}$ -Größe: $\begin{align} z = h \geq 0 \end{align}$ . Der zweite Teil aus der $\begin{align} x \end{align}$ - oder $\begin{align} y \end{align}$ -Größe: $\begin{align} a - 2h \geq 0 \end{align}$ , also $\begin{align} h \leq \frac{1}{2} a \end{align}$ . Das alles sieht man auch an der Zeichnung, die als Vorlage dient. $\begin{align} h=0 \end{align}$ und $\begin{align} h=\frac{a}{2} \end{align}$ sind Randstellen von $\begin{align} I \end{align}$ . Für die Bestimmung eines globalen Minimums oder Maximums sind die Ableitungen an diesen Randstellen völlig unerheblich (die ja auch nur Ableitungen von rechts bzw. von links sind). Sie sind nicht zu beachten. Nur im Innern, also für $\begin{align} h \in \left( 0 , \frac{a}{2} \right) \end{align}$ , sagen die Nullstellen der Ableitung gegebenenfalls etwas über lokale Extrema aus. Wenn man $\begin{align} V(h) \end{align}$ oben mit der Produktregel differenziert, erhält man: $\begin{align} V'(h) = \frac{1}{2} (a-2h)(a-6h) \, , \ \ 0 < h < \frac{a}{2} \end{align}$ (beachte die Ungleichheitszeichen!) Jetzt berechnet man direkt $\begin{align} V(0)=0 \end{align}$ und $\begin{align} V \left( \frac{a}{2} \right) = 0 \end{align}$ . Im Innern von $\begin{align} I \end{align}$ sind die Werte $\begin{align} V(h) \end{align}$ offenbar positiv, wie man der Funktionsgleichung oben direkt ansehen kann und wie es auch der Anschauung entspricht (Volumina sind niemals negativ). Daher muß $\begin{align} V(h) \end{align}$ ein globales Maximum besitzen, das im Innern von $\begin{align} I \end{align}$ angenommen wird und somit auch ein lokales Maximum ist. An der Maximalstelle muß die Ableitung 0 werden. Es gibt aber nur eine Nullstelle der Ableitung im Innern von $\begin{align} I \end{align}$ , nämlich $\begin{align} h = \frac{a}{6} \end{align}$ . Also befindet sich dort auch das Maximum von $\begin{align} V(h) \end{align}$ . Fertig! Das Problem an deiner Argumentation ist: 1. Du beziehst die Untersuchung der Randstellen $\begin{align} h=0 \end{align}$ und $\begin{align} h=\frac{1}{2}a \end{align}$ nicht gesondert in deine Argumentation mit ein. 2. Du findest zwar eine "Nullstelle" von $\begin{align} V'(h) \end{align}$ bei $\begin{align} h=\frac{1}{2}a \end{align}$ , merkst aber nicht, das das gar nicht relevant für die Untersuchung ist, eben weil dort eine Randstelle vorliegt. Es stimmt zwar, daß $\begin{align} V(h) \end{align}$ bei $\begin{align} h = \frac{1}{2} a \end{align}$ minimal ist. Aber deine Begründung dafür ist falsch. Denn auch bei $\begin{align} h=0 \end{align}$ ist $\begin{align} V(h) \end{align}$ minimal. Und dort ist $\begin{align} V'(h) \end{align}$ alles andere als 0. Wie immer bei diesen Untersuchungen liegt die Crux darin, daß es versäumt wird, sich über einen vernünftigen Definitionsbereich der Zielfunktion Gedanken zu machen (was oftmals der anstrengendeste Teil der Überlegung ist, weil man nicht nach Schema F rechnen kann). Und ohne diesen stolpert die Argumentation vor sich hin. (Übrigens: Das überflüssige $\begin{align} V''(h) \end{align}$ stimmt nicht ganz.)
28.06.2017, 14:48	diego09	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die sehr ausführliche Antwort, die mich im ersten Moment etwas erschlagen hat. Aber ich glaube, ich habe deine Punkte verstanden. Über den Definitionsbereich habe ich mir absolut keine Gedanken gemacht, verstehe aber natürlich warum 0 <= h <= 1/2a sein muss. Wenn ich mir die Zeichnung angucke, ist es natürlich auch absolut logisch, dass ich mit h=0 und h=1/2a keinen Quader bauen kann. Daher muss gelten 0 < h < 1/2a. Deiner formalen Argumentation mit den Ableitungen an den Randstellen kann ich leider nicht folgen. Falls du Zeit und Lust hast, würde ich mich über eine Erklärung dazu freuen, will dir deine Zeit aber auch nicht übermäßig stehlen, als ich es ohnehin schon tue Zur Lösung dieser Aufgabe sollten meine logischen Erklärungen zum Definitionsbereich auch reichen und somit ist die Verwendung von V''(h), das natürlich 12h-4a heißen müsste, tatsächlich unnötig weil es nur eine Nullstelle im Inneren des Definitionsbereiches gibt.
28.06.2017, 15:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dich tiefer einarbeiten willst, dann schau hier.
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