Komplexe Fourier Reihe Periode 2pi

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28.06.2017, 14:37	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Fourier Reihe Periode 2pi Hallo zusammen, ich würde gerne die Komplexe Fourier Reihe der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\| \sin(x) \| \end{eqnarray}$ berechnen. Zunächst habe ich in der Aufgabenstellung nachgesehen, es handelt sich um eine $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ Periodische Funktion. Dann habe ich die Definitionen der $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ Fourier Reihe aufgeschrieben $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } c_{n}e^{jnx} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \! f(x)e^{-jnx} \, dx \end{eqnarray}$ Soweit eingesetzt: $\begin{eqnarray} c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \! \|sin(x)\|e^{-jnx} \, dx \end{eqnarray}$ Jetzt müssten die Fälle unterschieden werden $\begin{eqnarray} n\neq 0, n = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \! \|sin(x)\|e^{0} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_{n}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \! \|sin(x)\|e^{-jnx} \, dx \end{eqnarray*}$ Nur wie macht man jetzt weiter? Wie wird der Betrag integriert, oder gibt es eine Alternative dazu? kann man den Sinus nicht auch umschreiben? Aber was wird dann aus dem Betrag? Danke für kommende Hilfen!
29.06.2017, 00:37	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Formel ist nicht richtig. Du brauchst $\begin{align} \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{jnx} \end{align}$ . Zur Berechnung würde ich das Integral aufteilen in der Part, wo der Sinus positiv ist und jenen, wo er negativ ist. Dadurch kannst du den Betrag beim Sinus auswerten und danach ein Integrationsverfahren deiner Wahl verwenden, zum Beispiel partielle Integration. Falls du die Identität $\begin{align} \sin(x) = \frac{1}{2j}(e^{jx}-e^{-jx}) \end{align}$ kennst, kannst du die partielle Integration umgehen.
29.06.2017, 09:24	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
JA, mit dem Index stimme ich dir zu, das war mein Fehler. JA, auf die Sinus Identität habe ich angespielt. Für $\begin{eqnarray} /c_{0} \end{eqnarray}$ würde mann dann einfach das hier schreiben oder? $\begin{eqnarray} c_{0} =\frac{1}{2\pi} \frac{1}{2j} \int_{0}^{2\pi} \! (e^{jx}- e^{-jx}) e^{0} \, dx \end{eqnarray}$
29.06.2017, 15:55	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo ist der Betrag geblieben?
29.06.2017, 19:10	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, der fehlt. Kannst du mir da ein wenig mehr auf die Sprünge helfen. Wie wird denn der Betrag überhaupt integriert?
29.06.2017, 19:36	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dir schon erklärt, wie du den Betrag loswirst. Einfach nochmal meinen ersten Beitrag gründlich lesen. Du hast es bestimmt übersehen.
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29.06.2017, 19:48	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ich glaube ich habe es. Das Aufteilen des Sinuses. In die Bereiche wo er positiv ist und die wo er negativ ist. Der Sinus ist positiv von 0 bis pi, negativ von pi bis 2pi richtig? Dann könnte man das doch so etwa aufteilen oder? $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \|sin(x)\|e^{x} \, dx = \int_{0}^{pi} \! sin(x)e^{x} \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} \! sin(x)e^{x} \, dx \end{eqnarray}$ Anstelle des sin(x) würde ich dann die komplexe Version nutzen
29.06.2017, 20:12	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du auch für $\begin{align} x\in(\pi, 2\pi) \end{align}$ benutzt, dass $\begin{align} \|\sin(x)\| = \sin(x) \end{align}$ . Bei dir ist einfach immer $\begin{align} \|x\| = x \end{align}$ oder? Egal ob jetzt $\begin{align} x \end{align}$ positiv oder negativ ist.
29.06.2017, 20:42	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast vergessen. Die Regel für den Betrag muss ja noch angewendet werden. Dann wäre es a für a => 0 -a für a < 0 Das heißt dann, dass das zweite Integral dann nicht addiert wird, sondern subtrahiert wird, richtig? Clearly, ich finde diese Lehrer-Schüler Didaktik gerade richtig gut!
29.06.2017, 21:10	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, richtig!
29.06.2017, 21:30	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke dir, final müsste es dann das hier sein: $\begin{eqnarray} { c }_{ n }=\frac { 1 }{ 2\pi } (\int _{ 0 }^{ \pi }{ \frac { { (e }^{ ix }-{ e }^{ -ix }){ e }^{ inx } }{ 2i } } -\int _{ \pi }^{ 2\pi }{ \frac { { ( }e^{ ix }-{ e }^{ -ix }){ e }^{ inx } }{ 2i } } ) \end{eqnarray}$ Man könnte vorher dann auch noch das 2i ausklammern

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