Kompakter Operator und Spektrum

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Approxx Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakter Operator und Spektrum
Guten Abend,

ich komme bei der ersten Teilaufgabe eines größeren Aufgabenblocks nicht weiter und hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt smile

Seien E der Banachraum E=C([0,1]) und der lineare Operator

[lates ](Tf)(x):=\int_0^{1-x}f(t)dt [/latex]

- Benutzten Sie den Satz von Arzel\`a Ascoli um zu zeigen, dass T kompakt ist.

Dazu wollte ich erstmal zeigen, dass T gleichgradig stetig auf [0,1] ist.



Hier sehe ich jetzt nicht, wie ich den Ausdruck weiter vereinfachen kann^^
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

kann nicht gleichgradig stetig sein. Das ist eine Eigenschaft von Mengen von Funktionen. Überleg nochmal genau, was du zu zeigen hast und was du dafür brauchst. Du bist mit dem Integral schon auf dem richtigen Weg, aber es ist wichtig, dass du weißt, wo du überhaupt hin willst, sonst brauchst du garnicht erst loszurechnen.
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, es sollte natürlich lauten:

Zu zeigen ist, dass gleichgradig stetig auf [0,1] ist und beschränkt ist.
Wobei die Einheitskugel auf E ist, d.h. für alle f in ist ||f|| kleiner 1.

So sollte es korrekt sein oder?

Wie könnte ich das Integral weiterhin abschätzen?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst als erstes mal die Integrale miteinander verrechnen. Die Integrationswege heben sich zum Teil gegenseitig weg.
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Erster Teil:
Dafür müsste ich annehmen, dass (kann ich das einfach machen)? sollten ja beliebig wählbar sein.


Damit würde ich folgendes erhalten:



Das Delta existiert für alle x_1,x_2 , weil f gleichmäßig Stetig ist.


Verständnisfrage: (falls die Rechnung überhaupt richtig ist)
Ich muss ja zeigen, dass für alle epsilon ein delta existiert:
In diesem speziellen Fall ist, kann ich wählen.

Zweiter Teil:
Um den Satz von Arzel`a Ascoli anzuwenden, muss ich noch zeigen, dass beschränkt ist.

Sei c=2, dann gilt:

Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn sind, vertauschst du einfach die Rollen von , das läuft aufs gleiche hinaus. Man sagt dann, dass o.B.d.A. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) gelte.

Zitat:
Das Delta existiert für alle x_1,x_2 , weil f gleichmäßig Stetig ist.


Das hat doch mit garnichts mehr zu tun, du hast das vorher "wegabgeschätzt" und das war auch richtig.

Zitat:
Ich muss ja zeigen, dass für alle epsilon ein delta existiert:


Ne, das ist nicht zu zeigen, schlag die Definition nochmal nach.

Der zweite Teil ist richtig.
 
 
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt...

ich will ja die Gleichgradigstetigkeit auf [0,1] zeigen und die gleichmässige Stetigkeit von f brauche ich gar nicht.

D.h. dann, für alle Epsilon größer Null existiert ein Delta = Epsilon, sodass die ganzen Abschätzungen erfüllt?

Habe ich das richtig interpretiert?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob du jetzt die richtige Definition im Kopf hast, das, was ich oben zitiert habe, war nämlich komplett falsch. Magst du das nochmal richtig aufschreiben?
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kommen die interessanten Aufgaben smile :

(2) Zeigen Sie, dass 0 kein Eigenwert von T ist.

- D.h. es existiert kein kein Eigenvektor v (ungleich 0), sodass Tv = 0*v = 0. Also muss ich zeigen, dass

Hier sehe ich nicht, warum
Es gibt doch sicherlich eine Funktion, die nicht die Nullfunktion ist, für die das Integral Null ist.

(3) Sei ein Eigenwert und eine zugeordnete Eigenfunktion. Zeigen Sie, dass g dann differenzierbar ist und die folgende Gleichung löst



und weiter, dass und .


- Ich weiß von g, dass es eine Eigenfunktion ist und das es stetig ist. Stetig impliziert im allg. aber nicht differenzierbarkeit, sodass ich nicht weiß, wie ich ich die differenzierbarkeit von g zeigen soll.

Wie ich zeigen soll, dass g die DGL löst weiß ich gar nicht unglücklich



(4) Folgern Sie daraus, dass g folgende Gleichung erfüllt


Hierzu verwende ich wahrscheinlich das gleiche Lösungsverfahren wie in (3)
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zu (1) (gleichgradig Stetigkeit)

z.z. gleichgradig stetig in [0,1] ist

Dies ist äquivalent zu





Für ist die obige Definition der gleichgradig stetigkeit erfüllt.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

(1) ist jetzt gut.

Für die anderen Teile machen wir mal eins nach dem anderen:

Tipp zu (2) Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

(2) Um ehrlich sehe ich nicht mal im Ansatz, wie mir der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung helfen soll, um zu zeigen, dass kein Eigenwert von T ist.

Ist meine Annahme denn korrekt:

Wenn kein Eigenwert von T ist, dann darf kein existieren, welches die Eigenwertgleichung erfüllt. Dies ist gleichbedeutend mit:

Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm doch einfach mal an, dass es gibt mit für alle . Was sagt denn jetzt der Hauptsatz über die rechte Seite dieser Gleichung?

Deine Annahme ist einfach die Definition von "0 ist ein Eigenwert" negiert. Das ist also selbstverständlich richtig.
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hauptsatz sagt,

für alle x in [0,1] differenzierbar und eine Stammfunktion für f ist, d.h. F'(x) = f(x) = 0

Ahh, jetzt verstehe ich Freude

Damit wäre Teilaufgabe (2) gelöst.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht ganz, das wäre richtig, wenn die obere Grenze wäre. So, wie es da steht, musst du die Kettenregel beim Differenzieren verwenden.

Für (2)(3) würde ich mir ein ähnliches Argument überlegen.
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

(3)

g ist eine stetige Funktion. Stetigkeit impliziert im allg. aber nicht Differenzierbarkeit.

Also muss ich verwenden, dass g eine Eigenfunktion.

Hmm, könnte der Beweis vielleicht so aussehen:



Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung, existiert ein wofür gilt:

Sodass,



Hmm
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche nochmal (2) neu zu schreiben, bevor wir über (3) reden.
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »



Aus dem Fundamentalsatz folgt nun:

Weil F=0, folgt doch damit

Verstehe nicht so ganz, wo ich da die Kettenregel anwenden soll.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Dann ist Also ist , also ist . Was du geschrieben hast, stimmt also nicht. Finde den Fehler.

Verwende doch für die 3 ganz genau den gleichen Ansatz wie für die (2), schreibe dir die Eigenwertgleichung hin und guck, was du daraus schließen kannst. Mehr Hinweis gebe ich jetzt erst einmal nicht, bevor etwas von dir kommt. Letztendlich ist es deine Aufgabe und bisher kam von dir noch nicht viel.
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Denkfehler, ich habe die Ableitung einfach in das Integral gezogen. Jetzt ist mir auch klar, was du mit der Kettenregel meinst. Unter Berücksichtigung der Kettenregel erhalte ich:



Jetzt habe ich Probleme, dieses Ergebnis richtig zu interpretieren. Wir sind von

F Integralfunktion

ausgegangen. Über den HDI haben wir die obige Beziehung für F' erhalten. Ich soll zeigen, das 0 kein Eigenwert von T ist, dies ist gleichbedeutend damit, dass der Kern von T nur die Nullfunktion enthält. Jetzt verstehe ich nicht, warum das aus



folgen soll.

(3) -Erste Gleichheit:



Wobei G die Integralfunktion ist. Nach dem HDI ist G eine differenzierbare Funktion. Mithilfe der Kettenregel folgt:



- zweite Gleichheit: g(1)=0



Dafür müsste ich erst mal G'' berechnen, da ich ja nicht weiß wie g' aussieht?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Funktion erfüllt denn für alle ?

(3) .
Approxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Aufgaben dank deiner Unterstützung soweit gelöst.

Vielen Dank, für deine Geduld und Hilfe !
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