Verteilungsfunktion und Dichte

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BlackBeatle Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion und Dichte
Meine Frage:
Hallihallo,

ich habe hier eine Aufgabe:

Definiere für die Funktion auf durch
für und für .

(a) Für welche Werte von (a,b) ist eine Verteilungsfunktion? Begründen Sie Ihre Antwort und achten Sie dabei darauf zu zeigen, dass für alle anderen Werte ) keine Verteilungsfunktion ist.
(b) Besitzt für die in (a) bestimmten Werte (a,b) eine Dichte? Bestimmen Sie diese ggf. auch.

Meine Ideen:
Ich habe eigentlich hierbei nur mit (a) Schwierigkeiten. Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Definition einer Verteilungsfunktion noch nicht richtig verstanden habe oder einfach nicht richtig an die Aufgabe herangehe, aber da ich für a und b ja beliebige reelle Zahlen einsetzen kann und auch die e-Funktion an sich keine Definitionslücken besitzt, sehe ich leider nicht, warum es Werte geben soll, für die die Funktion F keine Verteilungsfunktion ist. Hammer
Ich wäre sehr dankbar für jegliche weiteren Erklärungen. Gott
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verteilungsfunktion und Dichte
Hallo,

was muss denn für eine Verteilungsfunktion gelten? Setzt zum Beispiel und , dann ist F keine VF.

Kurze Nachfrage noch:

Zitat:
für und für .


Steht hier und oder sollte das einmal bzw. heißen.
BlackBeatle Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, es heißt und . smile

Aaah, okay, es ist keine Verteilungsfunktion, weil die Werte dann größer werden können als 1 und die Werte einer VF sollen immer monoton steigend sein und zwischen 0 und 1 liegen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte auch noch eine Nachfrage, deren Beantwortung entscheidend die Lösungsmenge dieser Aufgabe beeinflusst:

Habt ihr die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße als oder als definiert?
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Frage an Hal: Hast du schonmal von solch einer Definition gehört? Oder etwa von einer links-stetigen Version der VF, findet man sowas an manchen Unis?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Wahrscheinlichkeitsrechnung vor nunmehr über 30 Jahren zunächst nach der "russischen" Schule kennengelernt (Kolomogorov & Co), und die haben die linksstetige Variante praktiziert, ja. Heutzutage wird aber eher die rechtsstetige Variante favorisiert, und hier bei dieser Aufgabe macht das eben einen Unterschied. Und vielen Dank noch für deine im nachsichtigen väterlichen Ton gehaltene Nachfrage. Big Laugh
 
 
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte mehr ein interessierter Tonfall sein smile .

Die Definition mit ist mir bis jetzt nur einmal in der Statistik untergekommen, man definiert die normalisierte VF mit

,

ansonsten jedoch nicht. Aber warten wir doch mal auf die Antwort von BlackBeatle.
BlackBeatle Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben die Verteilungsfunktion von als und rechtsseitig stetig definiert. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann habe ich den Tonfall missverstanden - für mich klang es zunächst so wie "absurd, diese linksstetige Variante vorzuzerren, die verwendet doch eh keiner".
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zurück zu

Zitat:
Hallo, was muss denn für eine Verteilungsfunktion gelten?



Wir haben also rechtsseitige Stetigkeit. Was folgt daraus für deine VF?

Es gibt noch weitere Eigenschaften für Verteilungsfunktionen, welche denn und was folgt daher?
BlackBeatle Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich kenne 3 Eigenschaften der Verteilungsfunktion , die da wären
- F ist monoton steigend
- F ist rechtsseitig stetig
- und
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann fang doch mal mit der letzten Eigenschaft an, dem Grenzwert für an. Was folgt also für den Parameter (und mit der Monotonie für das Vorzeichen von )?
BlackBeatle Auf diesen Beitrag antworten »

Ein bisschen bin ich verwirrt...Also wenn ich mich nicht irre, dann dürft a=1 gelten, wenn und b ist beliebig, egal ob positiv oder negativ, dann geht der Ausdruck gegen 1. Aber was ich nicht schaffe, ist die Funktion für gegen 0 gehen zu lassen...
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
a=1 gelten,


Ja genau.

Zitat:
b ist beliebig, egal ob positiv oder negativ, dann geht der Ausdruck gegen 1.


Nein, das stimmt nicht. Wenn positiv ist, folgt sofort für und . Damit ist die VF nicht monoton steigend!


Zitat:
Aber was ich nicht schaffe, ist die Funktion für gegen 0 gehen zu lassen...


Für gilt doch unabhängig von und . Und es gilt doch offensichtlich .


Jetzt musst du dich noch um die Rechtsstetigkeit kümmern. Wo könnte die denn schiefgehen und wie kannst du das verhindern?
BlackBeatle Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah, das ist logisch! Tut mir leid, ich bin noch recht verwirrt im Umgang mit dem Ganzen, aber jeder Beitrag hier lässt mir ein kleines Licht aufgehen.
Also soweit ich rechtsseitige Stetigkeit verstanden haben, nehmen wir jetzt einen Wert a und nähern uns diesem von rechts unendlich genau an, oder? Hammer Ich übersehe hier wohl schon wieder etwas, ich habe die Funktion soeben sogar extra geplottet. Eigentlich wäre sie doch in jedem Punkt stetig, egal wie groß oder klein ich b wähle, es entstehen keine Definitionslücken? unglücklich Hammer
SHigh Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, für große ist das kein Problem, da stetig (und damit insbesodere rechtsstetig) ist. Was ist aber an der Stelle ?

Zitat:
es entstehen keine Definitionslücken


Davon war auch nie die Rede, es geht um rechtsseitige Stetigkeit. Es muss also

für alle gelten. Jetzt sollten sich auch die Nachfragen

Zitat:
Steht hier und oder sollte das einmal bzw. heißen.


und

Zitat:
Habt ihr die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße X als F(x)=P(X<=x) oder als F(x)=P(X<x) definiert?


von HAL und mir einordnen lassen.
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