Eigenvektoren bestimmen

01.07.2017, 00:27	Mathematicax33	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren bestimmen Meine Frage: Ich suche den kern meiner Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: In der musterlösung ist die lineare Hülle gegeben $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ Das Gleichunssystem hier wäre ja x+y+z= 0 So, ich darf 2 Variablen frei wählen,deswegen wird mein Lösungsraum auch Dimension 2 haben. Aber ich komme nicht auf diese Lösung !! Sei x=k , y=m dann ist z=-k-m Sprich ich bekomme für meinen Lösungsraum $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} k \\ m\\ -k-m \end{pmatrix} > = <\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ Das entspricht aber nicht der Lösung Ich bekomme nur die richtige Lösung wenn ich y und z frei wähle mit y=m, z=k --> x=-m-k --> $\begin{eqnarray} <\begin{pmatrix} -m-k \\ m\\ k \end{pmatrix} > = <\begin{pmatrix}-1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ Aber das verwirrt mich. Sollte nicht unabhängig davon welche variablen ich frei wähle das richtige rauskommen ? Oder hab ich einen Denkfehler..Hoffe jemand kann mir helfen ! LG
01.07.2017, 08:02	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Kern einer Matrix ist ein linearer Unterraum. Ein solcher Raum hat viele verschiedene Basen. Durch die unterschiedliche Wahl der Parameter k,m bestimmst Du verschiedene Basen. Aber der aufgespannte Raum ist jedesmal derselbe. Gruß pwm
01.07.2017, 11:43	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergänzend: dein zweiter Lösungsvektor ergibt sich durch die Linearkombination v_2 - v_1 aus den Basisvektoren der Musterlösung. Und ab damit in den Hochschulbereich.

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