Funktion untersuchen

01.07.2017, 14:11

Elefant1990

Funktion untersuchen

Meine Frage:
Hallo
ich soll die Funktion im Anhang untersuchen und

- Definitionslücken, Symmetrie klassifizieren
- Nullstellen untersuchen,
- Verhaltenfür x --> ± ?, Extrema, Monotonieverhalten und Krümmungsverhalten -
- Graphen skizzieren

für hilfe bin ich dankbar

Meine Ideen:
noch keine idee....:-(

01.07.2017, 14:48

adiutor62

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RE: Funktion untersuchen
Schau mal hier:
http://www.mathebibel.de/kurvendiskussio...ionale-funktion

01.07.2017, 19:55

blu me

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erste versuche
ich habe jetzt mal angefangen.
nur beim verhalten gegen +/- unendlich bin ich mir nicht sicher.
ich bin jetzt bei den extrema. dafür muss ich ja die ableitung null setzen. aber ich bekomme da mit kettenregel ne riesen gleichung raus. ich denke da kann man bestimmt vorher was kürzen aber ich komme nicht weiter....

01.07.2017, 21:22

mYthos

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Die Nullstellen sind jeweils doppelt, also ist

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = 0 \text{ und } x_{3,4} = 2 \end{eqnarray*}$

Solche Nullstellen lassen auf eine Berührung der x-Achse schließen, sie könnten also auch Extremstellen oder Wendepunkte (Terrassenpunkte) bedeuten.
Diese Erkenntnis kann dir sehr beim Nullsetzen der 1. Ableitung helfen, denn der Gleichung ist teilweise nur mittels Erraten einer Lösung beizukommen.

Die Ableitung ist gar nicht so schwer, denn deren Bruch-Term lässt sich durch (x-1) kürzen (!) und aus dem Zähler 2x ausklammern.
Und Kettenregel, ja, die innere Ableitung von $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ ist 1, also die Ableitung des Nenners einfach $\begin{eqnarray*} 2(x-1) \end{eqnarray*}$

Auch bei der 2. Ableitung verfährst du ähnlich, der Bruchterm lässt sich durch $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ kürzen.
Bei der Ableitung sollst du also die (x-1) - Potenzen NICHT auspotenzieren.

Zur Symmetrie: Die Funktion ist zwar weder gerade noch ungerade, dennoch liegt eine Symmetrie zur Geraden x = 1 vor.
Du musst also (durch Einsetzen) zeigen, dass f(1+x) = f(1-x) gilt!

mY+

02.07.2017, 09:57

blu me

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vielen dank. das hilft mir schon sehr. ich versuchs mal weiter...

02.07.2017, 20:27

blu me

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zweiter versuch
so hab mal bisschen was versucht. vllt hat jemand zeit bisschen drüber zu schauen....
beim kümmungsverhalten komme ich nicht weiter

02.07.2017, 23:28

mYthos

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Überprüfe nochmals deine Angaben hinsichtlich der Monotonie (nimm den Graphen zu Hilfe ..)
Und deine 2. Ableitung stimmt nicht, richtig ist

$\begin{eqnarray*} f \ ''(x)=\frac{2(x^4-4x^3+6x^2-4x+4)}{(x-1)^4} \end{eqnarray*}$

Demgemäß gibt es KEINE Wendepunkte und das Krümmungsverhalten im gesamten Definitionsbereich (R \ {1}) ist einheitlich ... (wieder am Graphen zu ersehen)

mY+

04.07.2017, 16:31

blu me

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ableitung
also ich komme einfach nicht auf diese ableitung. ich weiss auch nicht was ich falsch mache.
bei mir komt für f"(x) = (2(x^4-4x^3- 2x²-12x+8)) /(x-3)^3

04.07.2017, 20:38

Leopold

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Dann mußt du wohl mindestens einen Rechenfehler gemacht haben. Welchen, können wir nicht wissen. Auf jeden Fall sollte es im Nenner nach Kürzen überflüssiger Faktoren $\begin{align*} (x-1)^4 \end{align*}$ heißen.

Man kann ja von vorneherein den Zähler faktorisieren und findet dann $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ als Quadrat einer Funktion wieder:

$\begin{align*} f(x) = \frac{x^4 -4x^3 + 4x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 \left( x^2 - 4x + 4 \right)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 (x-2)^2}{(x-1)^2} = \left( \frac{x(x-2)}{x-1} \right)^2 \end{align*}$

Die einzige Definitionslücke ist bei $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ . Man erkennt auch, daß sich hier ein Pol zweiter Ordnung befindet. Und ansonsten gilt wegen des äußeren Quadrats: $\begin{align*} f(x) \geq 0 \end{align*}$ . Bei den Nullstellen $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ müssen sich daher Minima befinden. Kleiner geht's nicht.

Wenn man sich die in mYthos' Plot erkenntliche, aber noch unbewiesene Symmetrie zunutze macht und entsprechend $\begin{align*} x \end{align*}$ durch $\begin{align*} x+1 \end{align*}$ substituiert, wird es noch einfacher. Man verschiebt also den Graphen um 1 nach links:

$\begin{align*} g(x) = f(x+1) = \left( \frac{(x+1)(x-1)}{x} \right)^2 = \left( \frac{x^2 - 1}{x} \right)^2 = \frac{\left( x^2-1 \right)^2}{x^2} \, , \ \ x \neq 0 \end{align*}$

An der letzten Darstellung kann man sofort $\begin{align*} g(-x) = g(x) \end{align*}$ ablesen, was zeigt, daß der Graph von $\begin{align*} g \end{align*}$ zur Vertikalen $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ symmetrisch ist, der Graph von $\begin{align*} f \end{align*}$ also zur Geraden $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ (Verschiebung rückgängig machen). Man kann aber auch anders umformen:

$\begin{align*} g(x) = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \end{align*}$

Nun leitet man ab:

$\begin{align*} g'(x) = 2 \left( x - \frac{1}{x^3} \right) = 2x \cdot \left( 1 - \frac{1}{x^4} \right) = 2x \cdot \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \end{align*}$

und erkennt als einzige Nullstellen: $\begin{align*} x = \pm 1 \end{align*}$ (denn $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ist ja Polstelle).
Vorhin erkannten wir direkt, daß $\begin{align*} f \end{align*}$ bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x=2 \end{align*}$ Minima besitzt und deshalb $\begin{align*} g \end{align*}$ bei $\begin{align*} x = \pm 1 \end{align*}$ . Und das müssen jetzt auch die einzigen Minima sein, denn weitere Nullstellen besitzt $\begin{align*} g' \end{align*}$ nicht.

Für die zweite Ableitung berechnet man:

$\begin{align*} g''(x) = 2 \left( 1 + \frac{3}{x^4} \right) \end{align*}$

Offenbar ist $\begin{align*} g''(x) > 0 \end{align*}$ und damit der Graph von $\begin{align*} g \end{align*}$ in jedem der beiden größtmöglichen Teilintervalle des Definitionsbereichs linksgekrümmt. Entsprechendes gilt dann für den Graphen von $\begin{align*} f \end{align*}$ , indem man die Verschiebung rückgängig macht.

04.07.2017, 22:25

blu me

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vielen dank.
ich verstehe nur nicht warum wir die ableitung von g betrachten und nicht gleich f ableiten?

04.07.2017, 23:14

Leopold

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Zitat:

Original von blu me
ich verstehe nur nicht warum wir die ableitung von g betrachten und nicht gleich f ableiten?

Du hast dir die Antwort selbst gegeben:

Zitat:

Original von blu me
also ich komme einfach nicht auf diese ableitung. ich weiss auch nicht was ich falsch mache.

Du brauchst dieses ganze $\begin{align*} g \end{align*}$ nicht. Aber wie du selbst siehst, geht mit $\begin{align*} g \end{align*}$ alles viel einfacher (was daran liegt, daß durch die Verschiebung $\begin{align*} g \end{align*}$ eine gerade Funktion ist). Wenn dich meine Antwort verwirrt hat, dann kehre zu $\begin{align*} f \end{align*}$ zurück. Nur mußt du halt dort auch $\begin{align*} f'(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} f''(x) \end{align*}$ berechnen und untersuchen.

05.07.2017, 10:11

blu me

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ok vielen dank für die hilfe

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