Einen Grenzwert bestimmen

01.07.2017, 23:21

Pathfinder56

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Einen Grenzwert bestimmen

Guten Abend,

ich soll den Grenzwert für x gegen +- unendlich für folgende Funktion lösen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x|x| }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

An für sich ist das ziemlich leicht, aber ich tue mich mit dem Betrag sehr schwer. Wenn der Betrag positiv ist, steht im Zähler ja auch x^2 und der Grenzwert strebt für x gegen unendlich gegen 1.

Was aber wenn der Betrag negativ ist? Dann steht im Zähler x*(-x)=-x^2,oder?
Muss ich dann eigentlich Fallunterscheidungen machen? Also gucken was passiert wenn der Betrag positiv ist und dann schauen was passiert wenn x jeweils gegen + und - unendlich strebt und dann nochmal prüfen was passiert wenn der Betrag negativ ist und schauen was passiert wenn x gegen + und - unendlich strebt?

Ist das überhaupt notwendig? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum? Ich bin gerade echt verwirrt und freue mich über jede Hilfe

verwirrt

01.07.2017, 23:46

klarsoweit

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RE: Einen Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Pathfinder56
Wenn der Betrag positiv ist

Nun ja, der Betrag ist immer positiv oder Null. Es kommt eben drauf an, ob du x gegen plus oder minus unendlich laufen lässt.

02.07.2017, 07:25

Pathfinder56

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Das verstehe ich leider nicht. Ich dachte, dass unterscheiden muss, ob das x was im Betrag steckt, positiv oder negativ sei und deshalb eine Fallunterscheidung machen müsste?! verwirrt

verwirrt

verwirrt

02.07.2017, 08:42

Bürgi

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RE: Einen Grenzwert bestimmen
Guten Morgen,

ich vermute, dass Du eine Fallunterscheidung vor der Grenzwertbestimmung durchführen willst. Das ist eine gute Idee.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left \lbrace \begin{array}{l} \frac{....}{x^2+1}, ~ x\geq 0 \\ \frac{....}{x^2+1}, ~ x< 0 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

Ich habe die Berechnung der Zähler der beiden Bruchterme für Dich gelassen.

02.07.2017, 09:40

Pathfinder56

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Guten Morgen!
Ja, genau. Das hatte ich vor!

Wenn x>=0, dann steht im Zähler x^2.
Wenn x<0, dann steht im Zähler doch auch x^2, weil das x im Betrag dann doch auch <0 ist,oder nicht? Oder bleibt der Betrag davon verschont und bleibt auch in diesem Fall positiv? Dann hätte man im Zähler -x^2?

02.07.2017, 10:53

willyengland

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Betrag heißt "positiv", also ist der Zähler: $\begin{eqnarray*} -x*x=-x^2 \end{eqnarray*}$ .

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02.07.2017, 11:05

Pathfinder56

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Also bedeutet das, dass der Betrag immer positiv ist und ich mir in diesem Fall nur das "normale" x angucke? Und von diesem ist es dann abhängig, ob im Zähler x^2 bzw. -x^2 steht und nicht, wie ich angenommen hatte, vom Betrag?

02.07.2017, 11:08

willyengland

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Das bedeutet ja gerade "Betrag": Der Wert "ohne" Vorzeichen, also positiv.

$\begin{eqnarray*} (-x)*|(-x)|=(-x)*x=-x^2 \end{eqnarray*}$

02.07.2017, 13:46

klarsoweit

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Um eventuellen Mißverständnissen vorzubeugen: man sollte sich die Definition des Betrages anschauen. Und die ist eben:
|x| = x wenn x >= 0
|x| = -x wenn x < 0

Daraus resultiert, ob im Zähler x^2 oder -x^2 steht.

02.07.2017, 14:27

willyengland

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Zitat:

Original von klarsoweit
|x| = x wenn x >= 0
|x| = -x wenn x < 0

verwirrt

02.07.2017, 14:31

Pathfinder56

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Jetzt komme ich leider ganz durcheinander.

Wenn ich nun das Ganze für x<0 betrachte, steht doch im Zähler -x*(-x), denn beide x sind doch <0. Dann müsste doch im Zähler wiederum x^2 stehen oder nicht?

Muss ich dann für jeden Fall zwei Grenzwertbetrachtungen durchführen? Also einmal für x>0 und dann schauen wie der Grenzwert für x gegen + unendlich wird und dann noch für x gegen - unendlich? Und das selbe nochmal für x<0? verwirrt

verwirrt

02.07.2017, 15:42

Bürgi

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Hallo,

Zitat:

Wenn ich nun das Ganze für x<0 betrachte, steht doch im Zähler -x*(-x),

Nein.

|x| = (+x), gleichgültig welches Vorzeichen x hat.

Deshalb steht im Zähler

(-x) * (+x) = -x^2 für x < 0

02.07.2017, 15:45

willyengland

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Eindeutiger wird es wohl mit einem Zahlenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} x=-10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*|x|=-10*10=-100 \end{eqnarray*}$

02.07.2017, 15:51

Pathfinder56

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Ah,okay! Danke Dir! Ich fasse nochmal zusammen: Der Betrag bleibt vom Vorzeichen, also x>0 und x<0 unberührt und ist daher immer positiv?
Dann bleibt nur noch eine Unklarheit: Gucke ich mir dann den Grenzwert für x gegen + unendlich für x>0 an und den Grenzwert gegen - unendlich für x<0?

02.07.2017, 18:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von willyengland

Zitat:

Original von klarsoweit
|x| = x wenn x >= 0
|x| = -x wenn x < 0

verwirrt

Weswegen

verwirrt

?

Zitat:

Original von Bürgi
|x| = (+x), gleichgültig welches Vorzeichen x hat.

Also für x=-1 haben wir |-1| = (+(-1)) = -1 oder wie muß ich das verstehen?

Zitat:

Original von Bürgi
Deshalb steht im Zähler

(-x) * (+x) = -x^2 für x < 0

Und welcher der beiden Faktoren war jetzt vorher der Ausdruck |x| ?

02.07.2017, 19:32

Leopold

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Ist das ein Durcheinander hier ... Wie kann man nur eine solch einfache Problemstellung dermaßen verunstalten, daß keiner mehr versteht, worum es geht!

Eigentlich hat klarsoweit doch bereits alles gesagt:

Zitat:

Original von klarsoweit
|x| = x wenn x >= 0
|x| = -x wenn x < 0

Was dieser Beitrag soll, ist mir ein Rätsel:

Zitat:

Original von willyengland
Das bedeutet ja gerade "Betrag": Der Wert "ohne" Vorzeichen, also positiv.

$\begin{eqnarray*} (-x)*|(-x)|=(-x)*x=-x^2 \end{eqnarray*}$

Ohne einschränkende Anforderungen an $\begin{align*} x \end{align*}$ ist das offensichtlich falsch. Auch aus dem Kontext gehen diese nicht hervor.

Und das nächste ist ebenso verwirrend:

Zitat:

Original von Bürgi
|x| = (+x), gleichgültig welches Vorzeichen x hat.

Ich vermute, ich weiß, was Bürgi sagen will. Aber links verwendet er x wie eine mathematische Variable, rechts steht (+x) in einer Art Metasprache für "der positive Wert von x" oder so ähnlich. Diese Sprachverwirrung sollte man tunlichst unterlassen.

Lange Rede - kurzer Sinn. Ich gebe jetzt unserm Pfadfinder eine Musterlösung, denn sich bei diesem Chaos noch zurechtzufinden, erscheint mir unzumutbar.

Wie bei klarsoweit mache ich eine Fallunterscheidung.

$\begin{align*} \text{1. Fall:} \ x \to \infty \end{align*}$

Es genügt, $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ zu betrachten. Dann ist $\begin{align*} |x| = x \end{align*}$ , und folglich gilt:

$\begin{align*} \frac{x \cdot |x|}{x^2 + 1} = \frac{x \cdot x}{x^2 + 1} = \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1 \ \ \mbox{für} \ \ x \to \infty \end{align*}$

$\begin{align*} \text{2. Fall:} \ x \to - \infty \end{align*}$

Es genügt, $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ zu betrachten. Dann ist $\begin{align*} |x| = -x \end{align*}$ , und folglich gilt:

$\begin{align*} \frac{x \cdot |x|}{x^2 + 1} = \frac{x \cdot (-x)}{x^2 + 1} = \frac{-x^2}{x^2 + 1} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{x^2}} \to -1 \ \ \mbox{für} \ \ x \to - \infty \end{align*}$

02.07.2017, 19:45

Pathfinder56

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Danke Dir, Leopold! Also wird bei der Fallunterscheidung lediglich der Betrag betrachtet und die restlichen Vorzeichen der übrigen x-Werte bleiben unberührt, korrekt?

02.07.2017, 20:00

Leopold

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Ja.

Man könnte auch für die Funktion

$\begin{align*} f(x) = \frac{x \cdot |x|}{x^2 + 1} \end{align*}$

die Aussage $\begin{align*} f(-x) = -f(x) \end{align*}$ nachweisen (Ursache: $\begin{align*} |-x| = |x|) \end{align*}$ . Für den Graphen heißt das Punktsymmetrie zum Ursprung. Dann braucht man nur noch den Fall $\begin{align*} x \to \infty \end{align*}$ zu untersuchen. Der andere Fall ergibt sich mit der Punktsymmetrie.

[attach]44799[/attach]

02.07.2017, 20:42

Pathfinder56

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Super, vielen Dank!

Wie ist das denn bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= ln(\frac{|x| }{1+x^2}) \end{eqnarray*}$
Muss ich hier auch eine Fallunterscheidung durchführen?
Für x>0 und x gegen + unendlich, strebt der Grenzwert gegen -unendlich, richtig?

Wie ist das denn bei x<0 und wenn x gegen - unendlich strebt? Das geht doch dann gar nicht, da der Logarithmus doch nur für positive Zahlen definiert ist,oder nicht?

02.07.2017, 20:48

Leopold

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Der Betrag ist doch niemals negativ! Unterscheide $\begin{align*} x \end{align*}$ (das negativ sein kann) und $\begin{align*} |x| \end{align*}$ (das nicht negativ sein kann).

Nehmen wir $\begin{align*} x = -3 \end{align*}$ . Für solche $\begin{align*} x \end{align*}$ ist $\begin{align*} |x| = -x \end{align*}$ . Und sieh, es klappt: $\begin{align*} |-3| = -(-3) = 3 \ \text{positiv!} \end{align*}$

Du kannst die neue Aufgabe mittels einer Fallunterscheidung lösen. Oder vielleicht eine Spur einfacher durch Nachweis von $\begin{align*} f(-x) = f(x) \end{align*}$ . Was sagt nämlich das über den Graphen?

02.07.2017, 21:09

Pathfinder56

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Heißt das nicht, dass er achsensymmetrisch ist?
Ich würde die neue Aufgabe gerne per Fallunterscheidung lösen.
Da muss ich doch einfach wieder zwischen x>0 und x< 0 unterscheiden, oder nicht?

02.07.2017, 21:41

Leopold

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Ja, du kannst es wieder mit einer Fallunterscheidung machen. Aber glaubst du nicht, daß es besser wäre, eine dem Problem angemessenere Lösung zu finden?

Was ergibt sich denn, wenn du $\begin{align*} x=4 \end{align*}$ und $\begin{align*} x=-4 \end{align*}$ einsetzt, wenn du $\begin{align*} x=20 \end{align*}$ und $\begin{align*} x=-20 \end{align*}$ einsetzt, wenn du $\begin{align*} x=455 \end{align*}$ und $\begin{align*} x=-455 \end{align*}$ einsetzt?

Auch formal kannst du es dir hier einfacher machen. Wenn du $\begin{align*} x^2 = |x|^2 \end{align*}$ verwendest, dann kannst du

$\begin{align*} \frac{|x|}{1+x^2} = \frac{|x|}{1 + |x|^2} \end{align*}$

umformen.

03.07.2017, 07:08

Pathfinder56

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Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe was du meinst.

Wenn ich x=4 ,x=20 und x=455 einsetze, strebt der Bruch gegen Null, denn der Nenner ist immer größer als der Nenner und der Grenzwert gegen - unendlich, wegen des ln.

Wenn ich doch aber nun x=-4 , x=-20 und x=-455 einsetze, bleibt der Nenner zwar positiv, der Zähler wird doch aber negativ?!

03.07.2017, 08:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Pathfinder56
denn der Nenner ist immer größer als der Nenner

Vermutlich meinst du "der Nenner ist immer größer als der Zähler". Allerdings ist das kein Beweis für die Konvergenz des Bruchs gegen Null. Bei $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ ist der Nenner auch immer größer als der Zähler, aber der Bruch konvergiert nicht gegen Null.

Zitat:

Original von Pathfinder56
Wenn ich doch aber nun x=-4 , x=-20 und x=-455 einsetze, bleibt der Nenner zwar positiv, der Zähler wird doch aber negativ?!

Wieso? Gefühlte 100mal wurde doch schon gesagt, daß der Ausdruck |x| immer größer oder gleich Null ist.

03.07.2017, 09:54

Pathfinder56

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Also ist es egal, ob ich eine negative oder eine positive Zahl für den Betrag einsetze? Es bleibt immer positiv?

Dann würde für den Grenzwert für x gegen +- unendlich in beiden Fällen -unendlich herauskommen,richtig?

03.07.2017, 10:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Pathfinder56
Also ist es egal, ob ich eine negative oder eine positive Zahl für den Betrag einsetze? Es bleibt immer positiv?

Du mußt exakter formulieren. Für die Betragsfunktion ist es egal, ob du als Argument ein positives oder negatives x einsetzt. Das Ergebnis der Betragsfunktion - also |x| - ist immer positiv oder Null.

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