?-Quantil einer Verteilungsfunktion

01.07.2017, 23:46	fparmaks	Auf diesen Beitrag antworten »
?-Quantil einer Verteilungsfunktion Meine Frage: Hallo Ich muss in einer Aufgabe das 0,7- und 0,2-Quantil zu folgender Verteilungsfunktion berechnen. Meine Ideen: Ich kenn schon die Formel mit der man beginnt: Integral von -? bis ?? (bin noch nicht mit der Formelfunktion vertraut, sorry -_-) für f(x)dx. Jetzt hab ich schon verschiedene Beispiele gesehen und weiß nicht genau, wie ich diese Formel verwenden kann. Wär nice wenn mir da jemand helfen und ein Bsp. vlt vorrechnen könnte. Danke
02.07.2017, 00:50	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ?-Quantil einer Verteilungsfunktion Edit: Sorry, dachte das wäre die Dichte, die angegeben wird. Dann entfällt natürlich das integrieren. Es gilt $\begin{eqnarray} F(x)=P(X\leq x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -Quantil $\begin{eqnarray} F(x_p) \geq p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t \uparrow x_p}F(t) \leq p \end{eqnarray}$ . Unsere Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ besteht aus 4 Abschnitten. Das heisst wir müssen folgendes lösen: $\begin{eqnarray} 0.7=P(X\leq x_p)= \int_{-\infty}^{x_p} f(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0.2=P(X\leq x_{p'})= \int_{-\infty}^{x_{p'}} f(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(5) = 0 \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} 5 \leq t \leq 7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(t) = \frac{1}{6}t^2 - \frac{5}{3}t+\frac{25}{6} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} 7 < t \leq 8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(t) = -\frac{1}{3}t^2 + \frac{16}{3}t-\frac{61}{3} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} t > 8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(t) = 1 \end{eqnarray}$ Jetzt musst du die $\begin{eqnarray} F(t) \end{eqnarray}$ berechnen und schauen, wo deine Quantile hinfallen. Also konkret $\begin{eqnarray} F(5),F(7),F(8) \end{eqnarray}$ . Hast du den entsprechenden Interval gefunden, wo sich das Quantil $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ befindet, so musst du die Gleichung nehmen $\begin{eqnarray} p = F(t) \end{eqnarray}$ und nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ auflösen.
02.07.2017, 13:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache mal drauf aufmerksam, dass in dem gezeigten Scan nicht die Dichte $\begin{align} f \end{align}$ , sondern bereits die Verteilungsfunktion $\begin{align} F \end{align}$ gezeigt wird. Somit entfällt der Integrationsschritt, und man kann sofort mit der Quantilsuche starten. Diese Verteilungsfunktion kann man übrigens auch als $\begin{align} F(x) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\;x\leq 5\\ \frac{1}{6}(x-5)^2 &\;\mbox{für}\;5\leq x\leq 7\\ 1-\frac{1}{3}(8-x)^2 &\;\mbox{für}\;7\leq x\leq 8\\ 1 &\;\mbox{für}\;x\geq 8\end{cases} \end{align}$ schreiben, was Struktur und Verlauf etwas klarer erkennbar macht.
02.07.2017, 14:33	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoppla, da ist mir leider ein kleiner Fehler passiert. Bin es gewohnt, die Verteilungsfunktion zuerst berechnen zu müssen. Danke für die Korrektur.

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