Formelvergleich

02.07.2017, 09:57	jmd	Auf diesen Beitrag antworten »
Formelvergleich Meine Frage: Hallo Das ist keine Frage.Ich wollte jemand im Internet zeigen wieso unterschiedliche Formeln ähnliche Ergebnisse liefern. Danke 1.Earth Curve Calculator $\begin{eqnarray} h=\frac{1000}{2R} s^{2} \end{eqnarray}$ 2.Formel von Globalist $\begin{eqnarray} h=1000R(1-\cos(\frac{s}{R} ) ) \end{eqnarray}$ 3.Faustformel $\begin{eqnarray} \frac{8inch}{mile^2} \end{eqnarray}$ Man kann den cosinus in eine unendliche Reihe entwickeln (Taylorreihe) $\begin{eqnarray} cos(x)=1-\frac{1}{2} x^{2} +\frac{1}{24} x^{4}-\frac{1}{720}x^{6} +... \end{eqnarray}$ Wenn x ein "kleiner" Wert ist,dann werden die einzelnen Summanden der Taylorreihe immer kleiner,so dass man sie für eine Nährung weglassen kann Beispiel $\begin{eqnarray} x=0.05 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(0.05)=1-0.00125 +0.0000003 -0.000000000021+... \end{eqnarray}$ Für kleine Werte reicht also $\begin{eqnarray} cos(x)\approx 1-\frac{1}{2} x^{2} \end{eqnarray}$ Jetzt $\begin{eqnarray} x=\frac{s}{R } \end{eqnarray}$ einsetzen $\begin{eqnarray} \cos(\frac{s}{R } )\approx 1-\frac{1}{2} (\frac{s}{R} )^{2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \cos(\frac{s}{R } )\approx 1-\frac{s^2}{2R^2} \end{eqnarray}$ Diese Nährung kann man jetzt hier einsetzen $\begin{eqnarray} h=1000R(1-\cos(\frac{s}{R} ) ) \end{eqnarray}$ und bekommt $\begin{eqnarray} h\approx 1000R(1-(1-\frac{s^2}{2R^2} ) ) \end{eqnarray}$ Noch umformen $\begin{eqnarray} h\approx\frac{1000}{2R} s^{2} \end{eqnarray}$ siehe Earth Curve Calculator Bei der Faustformel kann man die Einheiten ändern $\begin{eqnarray} \frac{8inch}{mile^2}=7.85\cdot 10^{-9} \frac{1}{m} \end{eqnarray}$ Jetzt mit Quadratmeter multiplizieren damit eine Strecke herauskommt $\begin{eqnarray} h=7.85\cdot 10^{-8} \frac{1}{m} s^2 \end{eqnarray}$ s hat die Einheit Meter.Die Einheit soll aber km sein. Dazu die Einheiten ändern $\begin{eqnarray} \frac{1}{m} =1000000\frac{m}{km^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h=0.0785 \frac{m}{km^2} s^2 \end{eqnarray}$ s ist km;h ist Meter und der Vergleich mit dem Earth Curve Calculator $\begin{eqnarray} \frac{1000}{2R}\approx 0.0785 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: siehe oben

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