Jordan-Normalform berechnen

02.07.2017, 15:00

Emely123

Jordan-Normalform berechnen

Hallo,
ich versuche die Jordan-Normalform von folgender Matrix zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 3 & 1& 2\\0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwas geht schief traurig

Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
1) Eigenwerte: $\begin{eqnarray*} x_{A}(\lambda )= -\lambda^{3} + 3*\lambda ^{2}-3*\lambda +1 \end{eqnarray*}$ -> einziger Eigenwert (dafür aber dreifach): $\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$

2) Eigenvektoren/Eigenraum zum Eigenwert 1:

$\begin{eqnarray*} ker(A-E_{3})= ker \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix} = ker \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0 \\ -2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} E(1)= <{\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1\\0 \\ 1 \end{pmatrix} }> \end{eqnarray*}$

3) Hauptraum, da dreifacher Eigenwert
$\begin{eqnarray*} ker((A-E_{3})^{2}) = ker\begin{pmatrix} 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ab hier wirds schon irgendwie komisch, weil ein Kern von einer Nullmatrix ist doch trivial oder? Ich hab mich dann einfach mal dazu entschieden einen Vektor zu nehmen der unabhängig zu den anderen beiden vom Eigenraum ist:
$\begin{eqnarray*} H(1) = <{\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} }> \end{eqnarray*}$

4) Jordanketten berechnen:

Nehme $\begin{eqnarray*} w_{3} =\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_{2}= (A-E_{3})w_{3}= \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_{1}= (A-E_{3})w_{2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ja die Transformationsmatrix sein:
$\begin{eqnarray*} S= (w1,w2,w3)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber diese Matrix lässt sich nicht invertieren, damit dann $\begin{eqnarray*} S^{-1} A S = JNF \end{eqnarray*}$ gilt.
Was habe ich falsch gemacht? verwirrt

Vielen Dank für Hilfe im Voraus smile

02.07.2017, 16:34

HAL 9000

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Irgendwie hast du das Verfahren nicht richtig verstanden:

Dein Eigenwert 1 hat einen Eigenraum der Dimension 2. Also benötigst du nur noch einen einzigen Hauptvektor. Dieser Hauptvektor initiiert eine zweigliedrige Jordankette, der andere Eigenvektor steht für sich allein (sozusagen eine eingliedrige Jordankette).

Dein Ansinnen, eine dreigliedrige Jordankette zu bilden, und den einen Eigenvektor dann einfach wegzuwerfen, kann ich nicht nachvollziehen. Das musste in einem Nullvektor am Ende der Kette enden, und damit scheitern. unglücklich

02.07.2017, 19:02

Emely123

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Hmm ich glaub ich habs immer noch nicht ganz verstanden.

Also ich sag jetzt mein Eigenvektor der allein stehen soll ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann muss ich mit dem anderen Vektor eine Jordankette bilden bzw. ja erst mal den dazugehörigen Hauptvektor finden.
Ein Vektor der nicht im Kern von $\begin{eqnarray*} A - E_{3} \end{eqnarray*}$ liegt, wäre dann ja zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Also wäre das ja dann ein Hauptvektor, oder?
Dann bilde ich meine Jordankette wie oben nur dass ich den letzten Schritt weglassse. Also hab ich dann für $\begin{eqnarray*} w_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} w_1 = (A-E_3) w_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Und wie ordne ich diese dann in S an?

02.07.2017, 19:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Emely123
Also ich sag jetzt mein Eigenvektor der allein stehen soll ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, das kannst du erst entscheiden, wenn die andere Hauptvektorkette vorliegt. Der hier zu wählende "alleinige" Eigenvektor darf nicht linear abhängen von der anderen Hauptvektorkette. unglücklich

Zitat:

Original von Emely123
$\begin{eqnarray*} w_1 = (A-E_3) w_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Und genau das ist jetzt passiert: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist linear abhängig von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Du musst also einen anderen allein stehenden Eigenvektor wählen (oder was deine Rechnung betrifft: den anderen).

Angeordnet werden sie spaltenweise Hauptvektorkette für Hauptvektorkette, und innerhalb einer solchen Kette beginnend mit dem Eigenvektor. Was deine Rechnung betrifft, wäre also

$\begin{align*} S = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ -3 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{align*}$

eine passende Transformationsmatrix.

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