Bilinearform/Vektorraumisomorphismus

02.07.2017, 20:27	Jekyllvshyde	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform/Vektorraumisomorphismus Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} M=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 8 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und phy : $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 x \mathbb R^3 -> \mathbb R \end{eqnarray}$ die durch $\begin{eqnarray} phy(x,y) = x^{T} M * y \end{eqnarray}$ gegebene Bilinearform e) Sei $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 x \mathbb R^3 -> \mathbb R \end{eqnarray}$ das Standardskalarprodukt. Geben Sie einen Vektaumisomorphismus $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 -> \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ an, für den $\begin{eqnarray} phy(x,y) = < F(x),F(y)> \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gilt Meine Ideen:* Jetzt soll ich einen Automorphismus finden so das die Bilinearform phy gleich dem Skalarprodukt der Automorphismen der Vektoren ist richtig? Ich habe keinen Plan wie ich vorgehen soll, für jeden Hinweis wäre ich sehr dankbar. Ich gehe Stark davon aus das die Darstellungsmatrix der LA "ähnlich" der Strukturmatrix der Bilinearform ist. Würde sagen ich stelle auf beiden Seiten mal auf was die Gleichung aussagt: $\begin{eqnarray} x^{T}My = < F x, F * y > ; F \in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ . Keine Ahnung ob der Ansatz richtig ist oder ich total daneben liege.
02.07.2017, 22:20	Jekyllvshyde	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform/Vektorraumisomorphismus Habe jetzt durch umformen und Koeffizientenvergleich und am Ende Kurzen testen die Matrix $\begin{eqnarray} F = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalten. Habe nun aber sehr viel rechnen müssen und glaube das es einen schnelleren weg gibt, vielleicht habt ihr ja noch eine Idee.
02.07.2017, 22:35	Jekyllvshyde	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform/Vektorraumisomorphismus ok für die ersten Zahlenbeispiele hat es geklappt aber nicht für alle
02.07.2017, 23:01	Jekyllvshyde	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform/Vektorraumisomorphismus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 8 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} = <br /> < \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1}y_{1} - 2x_{1}y_{2} + x_{1}y_{3} - 2x_{2}y_{1} + 8x_{2}y_{2} - 2x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1} - 2x_{3}y_{2} + 3x_{3}y_{3} = s_{1}t_{1} + s_{2}t_{2} + s_{3}t_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} aa +dd +gg = 1<br /> ab +de +gh = -2<br /> ac +df +gi = 1<br /> bb + ee + hh = 8<br /> cc + ff + ii = 3 <br /> bc + ef + hi = -2 \end{eqnarray}$ Nun habe ich bemerkt, dass ich eine Gleichung vergessen habe und rechnen noch mal auf dem Zettel weiter. Weil ich schreibfaul bin habe ich mal F x = s und F * y = t geschrieben.
04.07.2017, 17:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform/Vektorraumisomorphismus $\begin{eqnarray} phy(x,y) = < F(x),F(y)> \end{eqnarray}$ schreibt sich in Matrixschreibweise als $\begin{eqnarray} x^TMy=(Fx)^T(Fy)=x^TF^TFy \end{eqnarray}$ , also muss $\begin{eqnarray} M=F^TF \end{eqnarray}$ sein. Anderseits gilt für eine symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} M=S^TDS \end{eqnarray}$ mit Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ . Das muss man jetzt nur noch zusammenbauen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »