Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit Hutfunktionen

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03.07.2017, 11:54	Mister K	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit Hutfunktionen Meine Frage: Sind die 1D-Hutfunktionen $\begin{eqnarray} h_{k}(x) \end{eqnarray}$ mit k=0,1,2,3 linear unabhängig? Zeigen Sie dies oder finden Sie eine nicht triviale lineare Kombination. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} h_{k}(x)=h_{0}(x-k) \end{eqnarray}$ Die vier Funktionen sind stückweise definiert. Müssen für sämtliche Intervalle separate Linearkombinationen aufgestellt werden? Demzufolge könnte passieren, dass in einigen Intervallen die Funktonen linear abhängig, bzw. unabhängig sind. Das würde im Widerspruch zur Fragestellung stehen, da es heißt "finden Sie eine nicht triviale lineare Kombination". Nach Recherche findet man immer wieder mal Wronski Determinante in dem Zusammenhang. Gibt es simple Lösungen oder ist Wronski der Ansatz, der gewählt werden sollte. Berechnung nur mit einem normalen wiss. T-Rechner erlaubt. Danke und Grüße
03.07.2017, 12:04	Mister K	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit Hutfunktionen Die Linearkombination wäre: $\begin{eqnarray} \alpha _{0}h_{0}(x-0)+\alpha _{1}h_{1}(x-1)+\alpha _{2}h_{2}(x-2)+\alpha _{3}h_{3}(x-3)=0 \end{eqnarray}$
03.07.2017, 12:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Definition ist unvollständig und vermutlich falsch. Wie ist die Hutfunktion $\begin{eqnarray} h_0(x) \end{eqnarray}$ definiert ? Definitionsbereich ? Wertebereich ? Zuordnungvorschrift oder Graph ? Wenn man die 0-te Funktion kennt, sind die anderen rekursiv definiert, aber nicht so, wie du es in deinem 2. Beitrag angesetzt hast.
03.07.2017, 13:30	Mister K	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]44807[/attach] Definitionsbereich: $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$
03.07.2017, 13:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist besser. Mache den Ansatz $\begin{eqnarray} \alpha_0h_0+\alpha_1h_1+\alpha_2h_2+\alpha_3h_3=0\Leftrightarrow (\forall x\in \mathbb R)\alpha_0h_0(x)+\alpha_1h_1(x)+\alpha_2h_2(x)+\alpha_3h_3(x)=0 \end{eqnarray}$ . Mache eine Skizze der 4 Funktionen, was folgt aus der Annahme $\begin{eqnarray} \alpha_0\ne 0 \end{eqnarray}$ , ... ?
03.07.2017, 14:33	Mister K	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]44808[/attach] Dem Graphen nach, dass die Summe der Linearkombination nicht 0 sein kann, nicht der konstanten Nullfunktion entspricht?
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03.07.2017, 18:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Skizze ist prima, aber dein Satz ist unverständlich. Annahme $\begin{eqnarray} \alpha_0\ne 0\Rightarrow \alpha_0h_0(0)+\alpha_1h_1(0)+\alpha_2h_2(0)+\alpha_3h_3(0)=\alpha_0\ne 0\Rightarrow \alpha_0h_0+\alpha_1h_1+\alpha_2h_2+\alpha_3h_3\ne 0 \end{eqnarray}$ Annahme $\begin{eqnarray} \alpha_1\ne 0\Rightarrow ... \end{eqnarray}$ etc.pp.
06.07.2017, 13:34	Mister K	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich melde mich noch einmal zurück, nachdem ich vermutlich eine Lösung der Aufgabe gefunden habe. @ Elvis Deine letzte Ausführung kann ich zur Lösung des Problems nicht nachvollziehen. Mein Ansatz nun: Ich wähle das Intervall I=(0,1). Für h_0(x) ist somit die relevante Teilfunktion für das Intervall 1-x (vgl. oben). Für h_1(x-1) gilt aufgrund der Verschiebung nach rechts um eine Einheit (x-1)+1 = x. Für h_2(x-2) und h_3(x-3) ergibt sich aufgrund der Funktionen für das o.g. Intervall =0. Demnach sieht die Linearkombination so aus: $\begin{eqnarray} <br /> \alpha _0h_0(x)+\alpha _1h_1(x-1)+\alpha _2h_2(x-2)+\alpha _3h_3(x-3)=0 <br /> \Rightarrow \alpha _0(1-x)+\alpha _1(x)+0+0=0<br /> <br /> \Rightarrow \alpha _1= \alpha _0-( \alpha _0/x)<br /> \end{eqnarray}$ Somit kann jeder Wert 0<x<1 und ein beliebiges $\begin{eqnarray} \alpha_0 \in R \end{eqnarray}$ gewählt werden, so dass die Linearkombination 0 wird. Damit sind die 1D Hutfunktionen im o.g. Intervall linear abhängig. Und desweiteren auch in den Intervallen (1,2) und (2,3), da h_0(x) und h_1(x-1) den beiden anderen Hutfunktionen, um eine, respektive um zwei Einheiten nach rechts verschoben, entsprechen. Dies ist nun mein Lösungsversuch. Grüße - Mister K
07.07.2017, 08:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist falsch, weil mein Beweis richtig ist. Mein Beweis funktioniert, weil die Gleichung auch für x=0,x=1,x=2,x=3 gelten muss. Du darfst keine Teilintervalle betrachten, eine Linearkombination muss für alle reellen x gelten. Die alphas sind Konstanten, dürfen also nicht von x abhängen. Wenn man an jeder Stelle x eine eigene Gleichung einführen dürfte, wären (für mehr als eine Funktion) alle Funktionen linear abhängig. Der Vektorraumbegriff würde dann für Funktionen keinen Sinn mehr machen, denn jeder Vektorraum hat eine Basis, d.h. insbesondere dass es linear unabhängige Funktionen gibt.

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