Stationäre Punkte und Minimum/Maximum

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PhysX Auf diesen Beitrag antworten »
Stationäre Punkte und Minimum/Maximum
Hallo,

Ich hab folgende Aufgabe gegeben:
[attach]44824[/attach]

ich habe bereits die partiellen Ableitungen gebildet:











Die stationären Punkte ermittel ich ja soweit ich weiß indem ich:





setze, also mit

Ich habe jedoch schwierigkeiten die stationären Punkte mit solch einer Funktion zu berechnen.. unglücklich

Zum anderen Teil: Das Minimum/Maximum kann ich ja mit der Hesse-Matrix bestimmen, also:

Aber hier muss ich ja letzendlich auch meine stationären Punkte einsetzten..

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

lg
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi PhysX,
OK, du hast ein paarmal x und y verwechselt, ich gehe mal davon aus, dass das nur beim Abtippen passiert ist. Wir haben also zur Berechnung der stationären Punkte:

.

Daraus folgt jetzt aber NICHT, wie du schreibst,

,

sondern nur

.

Um jetzt weiterzukommen, braucht man ein bisschen Trigonometrie:
1. Die Additionstheoreme könnten von Nutzen sein.
2. Aus folgt einer der beiden Fälle:
Fall 1: , in diesem Fall wäre .
Fall 2: , in diesem Fall wäre .
Damit kommst du jetzt bestimmt schonmal weiter.
LG Dustin
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dustin
1. Die Additionstheoreme könnten von Nutzen sein.

Eigentlich nicht nötig, wenn man in analoger Weise auflöst, wie du es bei in die Fälle 1 und 2 getan hast - scheint mir weniger Rechnerei zu sein. Augenzwinkern
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000: Stimmt Augenzwinkern Ich hatte auch nach einer einfacheren Lösung gesucht und in weiser Voraussicht "könnte" im Konjunktiv geschrieben Big Laugh
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also ich bin leider nicht wirklich weiter gekommen :/

kann man nicht schon sagen, dass

automatisch ein stationärer Punkt ist, da hier der Gradient mit, ist?

Wenn wir nun betrachten, resultieren ja 2 Fälle mit

1)

2)

Fall 2 führt ja zu Null. Der erste hingegen auf:



bzw.
und daraus resultiert die Punkte:





Wenn wir nun bspw:
in die Hesse Matrix einsetzen erhalten wir mit

die Eigenwerte

-> Maximum

Für den anderen also


Die Eigenwerte:
-> Minimum

Ich bin verwirrt verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man alles richtig, gründlich und vollständig durchzieht, kommt man auf die stationären Punkte

a)

b)

c)

und das alles für beliebige .


Speziell c) muss man allerdings hinsichtlich der Charakteristik der Extremstellen nochmals unterteilen in die vier Kreuzkombinationen gerade/ungerade mit gerade/ungerade.
 
 
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche es jetzt mal irgendwie ordentlich hinzubekommen.

Wenn wir nun betrachten, resultieren ja 2 Fälle mit

1)

2)

Der erste führt auf:



bzw.
und daraus resultiert die Punkte:





Der zweite Fall hingegen auf: sinx = siny=0

Ich definiere erstmal: sind ungerade, und gerade mit

Damit nun gilt, muss gelten bzw. daraus folgt:
und
Also

Mit den vier "Kreuzkombinationen" zwischen gerade und ungerade folgen:






Wenn ihr Verbesserungsvorschläge hättet wäre ich sehr dankbar. Eventuell habe ich etwas übersehen. Wie mache ich das nun mit dem Maximum / Minimum, war das den wenigstens in irgend einer weise richtig ?
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Das meiste stimmt jedenfalls! Gehen wir mal Schritt für Schritt durch:

Zitat:


Ich versuche es jetzt mal irgendwie ordentlich hinzubekommen.

Wenn wir nun betrachten, resultieren ja 2 Fälle mit

1)

2)


Richtig.

Zitat:
Der erste führt auf:



bzw.
und daraus resultiert die Punkte:





Hier unterschlägst du allerdings den Fall sin(x)=0 (su teilst einfach bedenkenlos durch sin(x), ohne zu bedenken, dass sin(x)=0 sein könnte!)
Dadurch bekommst du weitere stationäre Punkte sowie .
(Ich habe hier deine Definition übernommen, dass ungerade und gerade sind. Da sein soll, müssen x und y entweder beide geradzahlige oder beide ungeradzahlige Vielfache von pi sein.)


Zitat:
Der zweite Fall hingegen auf: sinx = siny=0

Ich definiere erstmal: sind ungerade, und gerade mit

Damit nun gilt, muss gelten bzw. daraus folgt:
und


Hier bin ich nicht ganz einverstanden. Wie kommst du auf und ??? Aus sin(x)=sin(y)=0 folgt, dass x und y beide ganzzahlige Vielfache von pi sind, da außerdem gelten soll, führt das auf die stationären Punkte
.

Letztlich bilden die jetzt von mir angegebenen vier stationären Punkte (genauer: Punktmengen) genau die vier "Kreuzkombinationen", von denen HAL9000 sprach und die du auch angegeben hast (wobei du, glaube ich, dabei mit den k's und l's ganz schön durcheinander gekommen bist).

Insgesamt haben wir jetzt also sechs Klassen von stationären Punkten (die natürlich jeweils aus unendlich vielen Punkten bestehen)!

Beim Einsetzen in die Hesse-Matrix hast du soweit alles richtig gemacht. Das musst du jetzt eben mit allen sechs Punktmengen machen.

LG Dustin
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dustin
Hier unterschlägst du allerdings den Fall sin(x)=0 (su teilst einfach bedenkenlos durch sin(x), ohne zu bedenken, dass sin(x)=0 sein könnte!)
Dadurch bekommst du weitere stationäre Punkte sowie .
(Ich habe hier deine Definition übernommen, dass ungerade und gerade sind. Da sein soll, müssen x und y entweder beide geradzahlige oder beide ungeradzahlige Vielfache von pi sein.)

Wobei alle diese Lösungen eine Teilmenge der Lösungen von Fall 2) sind, und damit diese Unterlassung keine weiteren Auswirkungen hat. Man sollte natürlich dennoch gründlich arbeiten, denn man hat nicht immer so ein Glück. Augenzwinkern
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000: Witzigerweise habe ich das auch erst gedacht, bin aber inzwischen anderer Meinung. Unter den stationären Punkten gehören diejenigen, bei denen k und l gleiche Parität haben, ausschließlich zu Fall 1, die anderen ausschließlich zu Fall 2. Es gibt also m.E. keine Überschneidungen beider Fälle.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah Ok, da war ich etwas leichtsinnig ... hast natürlich Recht. Augenzwinkern
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen vielen Dank!
Ich werde morgen weiter machen, und kann dann meine Lösungen zeigen smile
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Mach das smile
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wieder.
Ich packe das ganze jetzt mal alles zusammen smile
... Es folgt .

Sei sind ungerade, und gerade mit

Wenn wir nun betrachten, resultieren 2 Fälle mit

1)

2)

Der erste Fall führt auf:

Wir betrachten zunächst: . Hierbei ist zu beachten, da gelten soll, dürfen x und y beide entweder nur ganzzahlige oder ungeradzahlige Vielfache von sein.
Daher folgen die stationären Punkte:

und .


Aus: .
resultieren die Punkte:





Wir betrachten nun den 2. Fall

Dieser führt auf:

Daraus folgt, dass und beide ganzzahlige Vielfache von sind, da zudem hierbei gelten soll, resultieren die stationären Punkte:
.

Zusammengefasst lauten die stationären Punkte unserer Funktion:













Hoffe ich habe nichts vergessen smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Nun fehlen noch die Einstufungen der stationären Punkte hinsichtlich Minimum/Maximum/Sattelpunkt gemäß Hesse-Matrix, zumindest für die Punkte, die du gestern in deinem Beitrag 15:14 noch nicht erfasst hattest. Augenzwinkern
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich bin gerade dabei Wink
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mache das hier nun mit dem Maximum/ Minimum.

Für resultiert:
(Ich habe hier mal für und für genommen)

Daraus folgt:
.

Daraus folgen die EW: -> Minimum

Für
(Hierbei auch und für )

Daraus folgt die selbe Matrix und die gleichen Eigenwerte also: -> Minimum


(Für k, l = 1)


Daraus resultiert die Matrix:

EW: -> Sattelpunkt

Für mit k,l=2

EW: - Maximum.

mit k=1 und l=2

EW: -> Minimum

mit k=2 und l=1

EW: -> Sattelpunkt

Das Sattelpunkte resultieren wurde gar nicht erwähnt, es wurde ja eig nur gesagt das man nach Minimum oder Maximum unterscheiden soll xD Oder es wurde vergessen..
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme mit dir (wortwörtlich) in allen Punkten überein, mit Ausnahme von , da komme ich jeweils auf



und beides sind Stattelpunkte.

(Aus Symmetriegründen kann es auch gar nicht sein, dass für P5 und P6 unterschiedliche Ergebnisse herauskommen!)
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Ok hab meinen Fehler entdeckt. Damit kommt nun das gleiche wie bei Dir raus smile
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Tschakka Freude
PhysX Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal vielen Dank für die Hilfe smile
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Büdde smile
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