Reduzibilität zeigen

05.07.2017, 13:08	Seltsam1	Auf diesen Beitrag antworten »
Reduzibilität zeigen Meine Frage: Hallo. Ich stehe vor einem gewaltigen Problem. Zumindest glaube ich das. Gegeben ist ein Polynom y=(x^4)+1. Und ich soll zeigen, dass dieses genau dann in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{p}[x] \end{eqnarray}$ reduzibel ist, wenn $\begin{eqnarray} p \equiv 1(mod 4) \end{eqnarray}$ ist. Leider helfen mir alle Irreduzibilitätskriterien, die ich kenne, nicht weiter. Wie zeigt man das? Meine Ideen: Mein Ansatz ist eher schwach. Ich hab angenommen, dass x^4+1 darstellbar ist als ein Produkt von zwei Polynomen zweiten Grades, bzw von einem Polynom dritten Grades und einem linearen Polynom. Ich weiß ja schon, dass die Koeffizienten, die die Koeffizienten vor dem x^4 und dem Rest bilden, modulo 1 zu p sind(da y=1*x^4+1). Aber wie mache ich weiter und zeige, dass p=1 mod 4 sein muss?? Ich kann ja nicht einfach x=y mod p und p=1 mod 4 zu irgendwas der Art x=z mod 4 transferieren. Bitte Hilfe!
05.07.2017, 14:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe versuchsweise $\begin{eqnarray} x^4+1 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x^2+a \end{eqnarray}$ dividiert. damit komme ich auf eine Bedingung für $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Hilft das weiter ?
05.07.2017, 16:36	Seltsam1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hui, das ging ja fix. Danke dir! Okay, lass mal sehen, ob ich das verstehe. Bei einer Polynomdivision erhalte ich $\begin{eqnarray} x^{2}-a \end{eqnarray}$ mit dem Divisionsrest $\begin{eqnarray} -a^{2}+1 \end{eqnarray}$ . Damit ich aber das erhaltene Polynom benutzen kann, muss der Rest Null werden. Die Frage stellt sich also: Wann wird $\begin{eqnarray} -a^{2}+1=0 \end{eqnarray}$ ? Naja. Gegeben, dass ich in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_p \end{eqnarray}$ arbeite, lässt sich doch ableiten, dass $\begin{eqnarray} -a^{2}\equiv -1 mod \; p \end{eqnarray}$ . Und das gilt doch immer, wenn man geeignete a wählt, nehme ich an. Bsp. $\begin{eqnarray} a=5 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} a^{2}=25 \end{eqnarray}$ . Wähle p=26 und voilà: $\begin{eqnarray} a^{2} \equiv -1 \; mod \; p \end{eqnarray}$ . Irgendwas mach ich falsch.
05.07.2017, 18:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, das ist nicht ganz richtig. Beim Dividieren hast du einen Vorzeichenfehler. $\begin{eqnarray} p=26=213 \end{eqnarray}$ ist sicher keine Primzahl, da hast du also etwas durcheinander gebracht. $\begin{eqnarray} x^4+1=(x^2+a)(x^2-a)=x^4-a^2\Leftrightarrow a^2\equiv -1 \mod p \end{eqnarray}$ Das Problem ist die Frage nach den ungeraden Primzahlen, für die $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ein Quadrat ist. Man nennt dann $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ einen quadratischen Rest $\begin{eqnarray} \mod p \end{eqnarray*}$ , und ein Teil der Antwort steht hier : https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratischer_Rest Die Frage reduziert sich so auf das Legendre-Symbol und das quadratische Reziprozitätsgesetz ( C.F.Gauß 1796,1801 - das gewaltige Problem wurde also vor 221 Jahren gelöst ) oder vielmehr auf einen Ergänzungssatz dazu : https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratisc...t%C3%A4tsgesetz
05.07.2017, 18:59	Seltsam1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar, das ist mir sehr hilfreich. Leider wurde der Quadratisches Reziprozitätsgesetz niemals in der Vorlesung erwähnt, geschweige denn das Legendre Symbol. Hui, soviel Latex Erfahrung hab ich nicht, mal sehen ob ich das hinbekomme. Ok, wir wissen $\begin{eqnarray} a^{2} \equiv \; -1 \; mod\,p \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ist unser quadratischer Rest modulo p. Ergo sieht das Legendre Symbol so aus: $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c}-1\\-\\p\end{array} \right) \end{eqnarray}$ . Und das soll $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ sein, denn wir wissen, dass ein quadratischer Rest exisitieren muss aus der Aufgabenstellung. Dann hilft uns ja der 1. Ergänzungssatz weiter: $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c}-1\\-\\p\end{array} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} \end{eqnarray}$ , wobei dann gilt [...] $\begin{eqnarray} =1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p \equiv \; 1 \; mod \;4 \end{eqnarray}$ . Und da wir wissen, dass eins herauskommt (da es kein quadratischer Nichtrest ist), steht fest, dass p in der Restklasse [1]mod4 liegt. Ich bedanke mich vielmals!
05.07.2017, 19:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Pass auf, wir wissen, dass $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ genau dann quadratischer Rest $\begin{eqnarray} \mod p \end{eqnarray}$ ist wenn $\begin{eqnarray} p\equiv 1 \mod 4 \end{eqnarray}$ . Wir wissen auch, dass $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ quadratischer Nichtrest $\begin{eqnarray} \mod p \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} p\equiv 3 \mod 4 \end{eqnarray}$ . Im 1. Fall zerfällt als $\begin{eqnarray} x^4+1 \end{eqnarray}$ in 2 reine Quadrate. Im 2. Fall kann man keinen reinen quadratischen Faktor abspalten, hier musst du noch zeigen, dass sich auch kein linearer Faktor abspalten lässt (trivial nach dem was wir jetzt wissen) und auch kein anderer quadratischer Faktor abspalten lässt (weiß ich auch noch nicht).
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