Aus 2 Poisson Variablen eine nicht-Poisson Variable konstruieren

06.07.2017, 01:10

Dukkha

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Aus 2 Poisson Variablen eine nicht-Poisson Variable konstruieren

Hallo zusammen,

Hat jemand eine Idee oder Ansatz für:

Finde zwei Poisson Variablen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ mit Parametern $\begin{eqnarray*} \gamma,\delta \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ Werte in $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ hat aber keine Poisson-Verteilung.

Vielen Dank.

06.07.2017, 02:08

Clearly_wrong

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X=Y?

06.07.2017, 02:36

Dukkha

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Zitat:

Original von Clearly_wrong
X=Y?

Ist das nicht immer noch Poisson-verteilt? Beachte es gilt $\begin{eqnarray*} Z = X + (-Y) \sim \text{Po}(\gamma - \delta) \end{eqnarray*}$ (Die Summe von Poisson-Variablen ist eine Poisson-Variable)

Somit $\begin{eqnarray*} X = Y \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \gamma = \delta \end{eqnarray*}$ was $\begin{eqnarray*} \sim \text{Po}(0) \end{eqnarray*}$ ist.

06.07.2017, 03:02

Clearly_wrong

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Zitat:

(Die Summe von Poisson-Variablen ist eine Poisson-Variable)

Das ist falsch.

Zusatzfrage: Selbst wenn es richtig wäre, wo siehst du hier die Summe von zwei Poissonverteilungen? Wenn $\begin{align*} X \end{align*}$ poissonverteilt ist, dann ist es $\begin{align*} -X \end{align*}$ sicherlich nicht.

06.07.2017, 03:03

Dukkha

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Zitat:

Original von Clearly_wrong

Zitat:

(Die Summe von Poisson-Variablen ist eine Poisson-Variable)

Das ist falsch.

Ok, meine stochastisch unabhängige Poisson-Variablen.

06.07.2017, 03:10

Clearly_wrong

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Und sind $\begin{align*} X \end{align*}$ und $\begin{align*} -X \end{align*}$ für gewöhnlich unabhängig? Beachte außerdem meinen Edit.

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06.07.2017, 03:20

Dukkha

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Zitat:

Original von Clearly_wrong
Und sind $\begin{align*} X \end{align*}$ und $\begin{align*} -X \end{align*}$ für gewöhnlich unabhängig? Beachte außerdem meinen Edit.

Hey Clearly_wrong, Sorry mein Post war so viel ich weiss falsch und du hattest recht. Wink

Wink

Habe gegooglet und rausgefunden, dass die Differenz von 2 Poisson Variablen die Skellam-Verteilung hat.

Sorry für mein falsches Statement und danke vielmals!

06.07.2017, 03:38

Clearly_wrong

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Es ist schade, dass du das gegoogelt hast, denn einmal kurz selbst nachdenken hätte dich auch zur Lösung geführt. $\begin{align*} X-X \end{align*}$ ist offensichtlich eine Punktverteilung, die den Wert $\begin{align*} 0 \end{align*}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 annimmt und sonst keinen Wert. Jede Poissonverteilung nimmt aber jede natürliche Zahl mit positiver Wahrscheinlichkeit an, daher kann es sich nicht um eine Poissonverteilung handeln.

War das wirklich so schwer mit dem Tipp, genau dieses Beispiel anzugucken?

06.07.2017, 03:49

Dukkha

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Zitat:

Original von Clearly_wrong
Es ist schade, dass du das gegoogelt hast, denn einmal kurz selbst nachdenken hätte dich auch zur Lösung geführt. $\begin{align*} X-X \end{align*}$ ist offensichtlich eine Punktverteilung, die den Wert $\begin{align*} 0 \end{align*}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 annimmt und sonst keinen Wert. Jede Poissonverteilung nimmt aber jede natürliche Zahl mit positiver Wahrscheinlichkeit an, daher kann es sich nicht um eine Poissonverteilung handeln.

War das wirklich so schwer mit dem Tipp, genau dieses Beispiel anzugucken?

Hm aber deine Argumentation verstehe ich nicht ganz, weil eine Poisson Verteilung mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ gibt doch das selbe? Bitte erkläre deine Argumentation.

Zum Thema googlen, ich dachte, die Lösung wäre nicht so einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.07.2017, 05:58

Dopap

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@Dukha: könntest du damit aufhören Vollzitate in direkter Antwort zu verwenden geschockt

geschockt

Das ist Datenmüll und macht es nicht lesbarer.

Es gibt es auch den $\begin{eqnarray*} \boxed{\rm ANTWORTEN} \end{eqnarray*}$ - Button

06.07.2017, 07:16

HAL 9000

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Zurück zum Thema: Für

$\begin{align*} P(X=n,Y=k) = e^{-2}\cdot \begin{cases} \frac{1}{k!(n-k)!} & \;\mbox{für $n=0,k=0$ sowie $n=2,k=2$ und $n\geq 3,0\leq k\leq n$}\\ 2 & \;\mbox{für $n=1,k=1$}\\ \frac{3}{2} & \;\mbox{für $n=2,k=0$}\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

gilt $\begin{align*} X\sim \operatorname{Poisson}(2) \end{align*}$ und $\begin{align*} Y\sim \operatorname{Poisson}(1) \end{align*}$ , aber

$\begin{align*} P(X-Y=j) = \begin{cases} e^{-1}+e^{-2} & \;\mbox{für $j=0$}\\ e^{-1}-2e^{-2} & \;\mbox{für $j=1$}\\ \frac{1}{2} e^{-1}+e^{-2} & \;\mbox{für $j=2$}\\ \frac{1}{j!}e^{-1} & \;\mbox{für $j\geq 3$}\end{cases} \end{align*}$ ,

was keiner Poissonverteilung entspricht.

06.07.2017, 07:21

Dukkha

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Lieber Hal 9000 Gott

Gott

Gott

Vielen Dank für Deinen Post. Soll ich unsere Lösung posten, wenn sie heute kommt?

06.07.2017, 07:37

HAL 9000

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Es gibt ja nicht die Lösung, man hat unendlich viele Möglichkeiten. Ich habe oben $\begin{align*} X=Y+Z \end{align*}$ mit unabhängigen Poisson(1)-verteilten Zufallsgrößen $\begin{align*} Y,Z \end{align*}$ als Grundlage genommen, dann aber diese $\begin{align*} Y,Z \end{align*}$ leicht abgewandelt, indem ich die Werte $\begin{align*} P(Y=k,Z=j) \end{align*}$ für die (k,j)-Paare (0,1), (0,2), (1,0), (1,1) passend geändert habe.

06.07.2017, 08:29

Clearly_wrong

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Alle Quellen, die ich kenne lassen $\begin{align*} \lambda = 0 \end{align*}$ nicht als Parameter für eine Poissonverteilung zu. Wenn das bei euch anders ist, funktioniert mein Beispiel natürlich nicht.

06.07.2017, 10:50

HAL 9000

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Mein Vorschlag oben kann auch angepasst werden, dass er für beliebige $\begin{align*} \gamma > \delta > 0 \end{align*}$ ein Beispiel liefert mit $\begin{align*} X\sim \operatorname{Poisson}(\gamma) \end{align*}$ , $\begin{align*} Y\sim \operatorname{Poisson}(\delta) \end{align*}$ und $\begin{align*} Z=X-Y \end{align*}$ nicht poissonverteilt:

Zunächst wählen wir ein beliebiges $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0<\varepsilon\leq \min(\delta,1)\cdot (\gamma-\delta)e^{-\gamma} \end{align*}$ und betrachten dann die Verteilung

$\begin{align*} P(X=n,Y=k) = \frac{\delta^k(\gamma-\delta)^{n-k}}{k!(n-k)!}e^{-\gamma} + \begin{cases} \varepsilon & \;\mbox{für $n=1,k=1$ sowie $n=2,k=0$}\\ -\varepsilon & \;\mbox{für $n=1,k=0$ sowie $n=2,k=1$}\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

gültig für $\begin{align*} n\geq k\geq 0 \end{align*}$ (sonst 0). Die Differenz besitzt dann die Verteilung

$\begin{align*} P(Z=X-Y=j) = \frac{(\gamma-\delta)^j}{j!}e^{-(\gamma-\delta)} + \begin{cases} \varepsilon & \;\mbox{für $j=0$ sowie $j=2$}\\ -2\varepsilon & \;\mbox{für $j=1$}\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$ ,

also ein an den Positionen j=0,1,2 "verhunztes" $\begin{align*} \operatorname{Poisson}(\gamma-\delta) \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der oben angeführte erste Vorschlag entspricht dann $\begin{align*} \gamma=2,\delta=1,\varepsilon=e^{-2} \end{align*}$ .

06.07.2017, 16:23

Dukkha

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Vielen Dank Hal 9000! Freude

Freude

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