Finde ein Maß

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Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
Finde ein Maß
Hallo zusammen,

Wer hat eine Idee für vollgendes:

Sei . Man nennt eine Menge 'co-abzählbar' falls das Komplement abzählbar ist. Sei die Familie aller Untermengen von , welche entweder abzählbar oder co-abzählbar sind. Finden sie ein Mass auf so dass für alle , , welches nicht das Dirac-Mass für ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Finde ein Maß
Ein Mass, oder ein Wahrscheinlichkeitsmass? Das Nullmass wuerde das trivial erfuellen und ist nicht das Dirac-Mass Big Laugh

Alternativ etwas ernster: Definiere das Mass als Fallunterscheidung. Offenbar musst du so partitionieren, so dass ein Teil immer das Mass 0 bekommt, und der andere 1. Insbesondere auf die hier eingefuehrten Begrifflichkeiten sollte es klar sein was man nimmt.

Die Hauptarbeit sein wird zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist und wirklich ein Mass definiert. Das ist hauptsaechlich Analysis 1.
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Finde ein Maß
Kein Nullmass, ist die Aufgabe...
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Finde ein Maß
Zitat:
Original von IfindU
Alternativ etwas ernster: Definiere das Mass als Fallunterscheidung. Offenbar musst du so partitionieren, so dass ein Teil immer das Mass 0 bekommt, und der andere 1. Insbesondere auf die hier eingefuehrten Begrifflichkeiten sollte es klar sein was man nimmt.

Die Hauptarbeit sein wird zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist und wirklich ein Mass definiert. Das ist hauptsaechlich Analysis 1.


Es ist nicht für Analysis 1. Ich habe die Lösung, soll ich posten?
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, poste sie mal. Wahrscheinlich ist es eine andere Lösung, als IfindU und ich im Sinn haben, denn diese braucht wirklich nicht mehr als Stoff aus Analysis 1 und die Definition eines Maßes. Es würde mich interessieren, was es noch so für Möglichkeiten gibt smile

P.S. Wenn du eine Lösung hast, warum fragst du dann? Wenn das ein Rätsel ist, dann ist das hier der falsche Forenbereich dafür.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Die Hauptarbeit sein wird zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist und wirklich ein Mass definiert.

Und eigentlich gibt es da nur eine halbwegs interessante Stelle: Zu zeigen, dass in einer disjunkten Vereinigung von Mengen aus höchstens eine co-abzählbare stecken kann. Augenzwinkern
 
 
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Clearly_wrong
P.S. Wenn du eine Lösung hast, warum fragst du dann? Wenn das ein Rätsel ist, dann ist das hier der falsche Forenbereich dafür.


Weil ich die Lösung noch nicht hatte, als ich den Thread eröffnet habe. smile

Lösung:

Weiter sei , so dass für alle gilt , falls abzählbar ist. Wir haben Sei eine Folge von paarweise disjunkten Teilmengen von . Nehme an alle sind co-abzählbar, dann ist die abzählbare Vereinigung auch abzählbar und . Nehme an , so dass co-abzählbar sind. Dann ist , weil es das Komplement einer abzählbaren Untermenge ist. Aber dann sind und nicht disjunkt, deshalb existiert maximal eine co-abzählbare Teilmenge in der Folge . In diesem Fall haben wir co-abzählbar, was impliziert . Wir sehen . Wenn wir annehmen es existiert ein so dass wir als schreiben können, dann gilt , was zu einem Widerspruch führt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist bestenfalls ein Beweis, dass eine Sigma-Algebra ist. Da steht nicht einmal irgendwo ein Mass...
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, habe den falschen Teil der Lösung gepostet. Habe meinen Beitrag editiert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dukkha
Nehme an , so dass abzählbar sind. Dann ist , weil es das Komplement einer abzählbaren Untermenge ist.

Kann es sein, dass du hier co-abzählbar meinst? Außerdem meinst du wohl .

Solche Fehlbezeichnungen an entscheidenden Beweisstellen sind fatal. unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Auch aus anderen Gründen keine gute Lösung. Man hat nie das Maß komplett definiert. Was man genommen hat ist
.

Und ich denke nicht, dass das eine zu skurille Definition ist um darauf zu kommen.
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen von den bereits angesprochenen Stellen ist das aber doch alles Analysis 1 Stoff, ich kann mir deine Entrüstung über diese Bemerkung im Beitrag oben daher nicht wirklich erklären.
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast Recht Hal 9000. Es tut mir leid, dass ich diese Fehler nicht gesehen habe. Musste die Lösung vom Englischen noch ins Deutsche übersetzen. Jetzt sollte es korrekt sein.
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

@Clearly_wrong

Dann unterscheidet sich unser Analysis 1 Stoff ziemlich stark von deinem/euren. Wir hatten den Begriff des Maßes erst in Analysis 3 kennengelernt. (Jordan-Maß kam zwar schon in Analysis 2)

@IfindU

Ich gehe mal davon aus, dass dieses Maß später für irgendein Gegenbeispiel verwendet wir.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das Maß der Lösung. Den oberen Teil hat man explizit hingeschrieben, den unteren verwendet man implizit. Der Beweis, den du gepostet hast, ist für exakt dieses Maß. Dass man es nicht explizit hingeschrieben hat, ist der Grund warum ich die "Lösung" nicht gut finde.

Und was wir mit Analysis 1 meinen ist das folgende:
-Das Intervall ist ueberabzaehlbar.
-Die abz. Vereinigung von abz. vielen Mengen ist abzaehlbar.

Das sind die beiden Schlüsselaussagen, damit man nachweisen kann, dass meine Abbildung wirklich ein Maß ist. Dass die Definition von Maß erst später kommt, ist klar. Aber sobald man versucht die Definitionen für meine Abbildung nachzuweisen, braucht man effektiv nichts weiteres als die obigen, beiden Aussagen. Und das ist eben Analysis 1.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Man hat nie das Maß komplett definiert.

Das habe ich auch vermisst: Gleich voll auf den Beweis stürzen, aber nicht klar ansagen, worüber man da eigentlich redet. Ist ein häufiges Problem in vielen Threads, wo lose herumhängende Terme oder gar Termfragmente präsentiert werden und dann gefragt wird, ob die "richtig" sind. Ich blocke da zunehmend ab gegen diese Verwahrlosung. Ist nämlich keinem gedient damit, ständig bei sowas nachsichtig beide Augen zuzudrücken, sondern öffnet Tür und Tor für Missverständnisse.
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry Hal 9000, aber ich habe nur die Lösung gepostet, so wie wir sie bekommen haben.

Hier ist der Originaltext:

Edit (mY+): Link zu externer Uploadseite wurde entfernt. Hänge bitte die Grafik an deinen Beitrag an!

[attach]44839[/attach]
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht es exakt. Es ist genau dann, wenn B abzaehlbar ist. In der darauffolgenden Klammer ist es sogar noch einmal deutlich gesagt.

Du haettest auch nicht alles abtippen und uebersetzen muessen. Haettest direkt das Bild hochladen koennen. Es ist nichts wirklich gewonnen, wenn du dir diese Arbeit zusaetzlich machst.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
...
Haettest direkt das Bild hochladen koennen.
...

Nicht nur können, sondern müssen!
Links zu Direct- und anderen Uploadseiten werden nicht akzeptiert und daher entfernt!
---------
Und lieber schreiben wir Maß anstatt Mass Augenzwinkern

mY+
Dukkha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Und lieber schreiben wir Maß anstatt Mass Augenzwinkern

mY+


Die Aufgabe ist zwar geklärt und mein Beitrag ist offtopic.

Aber ich möchte gerne noch erwähnen, dass der Buchstabe "ß" in der Schweiz offiziell nicht verwendet wird, ergo haben wir ihn auch nicht auf der Tastatur oder im schweizer Sprachpaket (und ein deutsches Sprachpaket bringt uns nicht viel, weil unsere Tastatur anderst ist und somit Sonderzeichen etc. an anderer Stelle sind. Der Grund ist, weil wir hier auch noch 3 weitere Landessprachen besitzen.) Ich versuche aber in Zukunft wenigstens das Wort "Maß" so zu schreiben.

Und um dann den Ascii-Code auswendig zu lernen oder jedes mal ein "ß" zu googlen, ist mir das Ganze dann doch zu irrelevant. Wir lernen in der Schweiz auch nicht die Regeln bezüglich dem "ß" und "ss".

Edit: Ich hoffe, meine Beiträge sind auch ohne "ß" klar, zumindest Hal 9000 versteht meine Beiträge und hat mir so viele Fragen beantwortet..
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