e^-z+z = lambda eindeutige Lösung mit lambda>1 und Re(z)>0

06.07.2017, 13:00	Napplebee	Auf diesen Beitrag antworten »
e^-z+z = lambda eindeutige Lösung mit lambda>1 und Re(z)>0 Meine Frage: Funktionentheorie: Die Aufgabenstellung steht im Anhang. Meine Ideen: Ich weiß, dass ich dieses Problem mit dem ZWS und der Monotonie in R lösen könnte. Jedoch weiß ich nicht, wie das in C lösbar wäre. Beim Durchlesen des Skriptes ist mir der Satz von Hurwitz I (siehe Anhang) aufgefallen, aber ich weiß nicht, wie ich ihn anwenden soll und ob er überhaupt richtig ist.
06.07.2017, 18:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe $\begin{align} z = x + \operatorname{i}y \end{align}$ mit $\begin{align} x,y \in \mathbb{R} \end{align}$ und setze $\begin{align} h(z) = \operatorname{e}^{-z} + z - \lambda \end{align}$ Dann geht es um eine Nullstellenuntersuchung von $\begin{align} h \end{align}$ . Ich habe mir Folgendes überlegt: 1. Schritt Man zeigt, daß $\begin{align} h \end{align}$ in der abgeschlossenen Halbebene $\begin{align} x \geq 2 \lambda \end{align}$ keine Nullstellen besitzt. Das erreicht man durch Abschätzen von $\begin{align} \left\| h(z) \right\| \end{align}$ nach unten. Zunächst zweimal die umgekehrte Dreiecksungleichung anwenden, später dann beachten, daß die reelle Funktion $\begin{align} x \mapsto x - \operatorname{e}^{-x} \end{align}$ streng monoton wächst (was man sofort an der Ableitung sieht), ihr kleinstmöglicher Wert also bei $\begin{align} x = 2 \lambda \end{align}$ angenommen wird: $\begin{align} \left\| h(z) \right\| = \left\| z - \lambda - \left( - \operatorname{e}^{-z} \right) \right\| \geq \left\| z - \lambda \right\| - \left\| \operatorname{e}^{-z} \right\| \geq \left\| z \right\| - \left\| \lambda \right\| - \operatorname{e}^{-x} \geq x - \operatorname{e}^{-x} - \lambda \geq 2 \lambda - \operatorname{e}^{- 2 \lambda} - \lambda = \lambda - \operatorname{e}^{- 2 \lambda} \geq \lambda - 1 > 0 \end{align}$ 2. Schritt Man zeigt, daß $\begin{align} h \end{align}$ auf der imaginären Achse keine Nullstellen besitzt. Dazu setzt man $\begin{align} z = \operatorname{i}y \end{align}$ in $\begin{align} h(z)=0 \end{align}$ ein und geht zum Realteil über. Man erkennt die Unlösbarkeit. Wenn es also Nullstellen gibt, dann nur im offenen Vertikalstreifen $\begin{align} 0 < x < 2 \lambda \end{align}$ . 3. Schritt Jetzt zeigt man ähnlich wie im 1. Schritt, daß im Streifen $\begin{align} 0 < x < 2 \lambda \end{align}$ für $\begin{align} \|y\| \geq \lambda + 1 \end{align}$ keine Nullstellen liegen können. In der Abschätzung nach unten verwendet man $\begin{align} \|z\| \geq \|y\| \end{align}$ . Nullstellen von $\begin{align} h \end{align}$ können damit höchstens noch im Innern des Rechtecks $\begin{align} 0 \leq x \leq 2 \lambda, \, -(1 + \lambda) \leq y \leq (1 + \lambda) \end{align}$ liegen. 4. Schritt Mit dem Satz von Rouché, angewandt auf $\begin{align} f(z) = z - \lambda \end{align}$ und $\begin{align} g(z) = \operatorname{e}^{-z} \end{align}$ (Bezeichnungen aus dem Link) und das oben genannte Rechteck, zeigt man, daß $\begin{align} h \end{align}$ genau eine Nullstelle im Innern des Rechtecks besitzt. Im Link wird als Randkurve ein Kreis verwendet, es geht aber auch mit einem Rechteck. 5. Schritt Wenn man will, kann man die einzige Nullstelle sogar berechnen. Sie ist nämlich rein reell. Man wende den Banachschen Fixpunktsatz an auf die Funktion $\begin{align} \varphi: \, I \to I \, , \ \ \varphi(t) = \lambda - \operatorname{e}^{-t} \end{align}$ mit dem Intervall $\begin{align} I = \left[ \lambda - 1 \, , \, 2 \lambda \right] \end{align}$ . So scheint es zu funktionieren. Aber es mag natürlich auch noch einfacher gehen. Optimierungen willkommen.

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