Eigenschaften der Menge der symmetrischen Matrizen

07.07.2017, 21:26

Krischon

Eigenschaften der Menge der symmetrischen Matrizen

Meine Frage:
Moin zusammen,

ich bin gerade am Vorlesung durchgehen und stocke bei der Menge der symmetrischen Matrizen.
Wir haben einen Satz, der besagt:
Sei $\begin{eqnarray*} sym(n)\subset \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ die Menge der symmetrischen Matrizen.Es gilt:

a) Für $\begin{eqnarray*} W\in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} A|->W^{T}AW \end{eqnarray*}$ linear von sym(n) in sym(n).
Sie ist bijektix <=> sie ist injektiv.
Mit dem Hinweis: $\begin{eqnarray*} (W^{T}AW)^{T}=W^{T}A^{T}(W^{T})^{T}=W^{T}A^{T}W<br /> \end{eqnarray*}$
b) Ist $\begin{eqnarray*} A\in sym(n) \end{eqnarray*}$ positiv definit und W invertierbar, dann ist auch $\begin{eqnarray*} W^{T}AW \end{eqnarray*}$ positiv definit.

Meine Ideen:
Zu a). Ich bin ziemlich schlecht im Übersetzen von Bijektivität u.ä.
Was ich erinnere: Bijektiv ist eine Abbildung, wenn sie Surjektiv und Injektiv ist. Injektivität gilt, wenn $\begin{eqnarray*} A=B \Rightarrow W^{T}AW = W^{T}BT \end{eqnarray*}$ oder? smile

Nur wie jetzt weiter... :/

b) Ich weiß, dass eine symmetrische Matrix positiv Definit ist, wenn alle ihre Eigenwerte größer als 0 sind. Dann weiß ich, dass die Determinante einer invertierbaren Matrix $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Damit auch die Determinante ihrer Transponierten Matrix. Mein Gedanke war, dass damit $\begin{eqnarray*} det(W^{T}AW)=det(W^{T})*detA*detW \end{eqnarray*}$ . Nur fällt mir beim Aufschreiben auf, dass ich nichts über die Determinante von A weiß. (Ich dachte die wäre positiv, aber das kann ich ja gar nicht sagen oder?) Wie komme ich besser zum Ziel?

07.07.2017, 22:27

Leopold

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RE: Eigenschaften der Menge der symmetrischen Matrizen

Zitat:

Original von Krischon
Sie ist bijektix <=> sie ist injektiv.

Für einen Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraumes sind Surjektivität und Injektivität äquivalent ( $\begin{align*} \operatorname{sym}(n) \end{align*}$ ist aber endlich-dimensional). Das ist keine Spezialität von $\begin{align*} \operatorname{sym}(n) \end{align*}$ . Du findest es sicher in deinen Unterlagen als allgemeine Aussage.

Zitat:

Original von Krischon
b) Ist $\begin{eqnarray*} A\in sym(n) \end{eqnarray*}$ positiv definit und W invertierbar, dann ist auch $\begin{eqnarray*} W^{T}AW \end{eqnarray*}$ positiv definit.

Hier würde ich direkt mit der Definition der positiven Definitheit arbeiten:

$\begin{align*} y^{\top} A y > 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 0 \neq y \in \mathbb{R}^n \end{align*}$ (Elemente als Spalten geschrieben)

Wenn $\begin{align*} W \end{align*}$ invertierbar ist, was weißt du dann über $\begin{align*} y = Wx \end{align*}$ , sofern $\begin{align*} x \neq 0 \end{align*}$ ist? Dann betrachte $\begin{align*} x^{\top} B x \end{align*}$ für die Matrix $\begin{align*} B = W^{\top} AW \end{align*}$ mit einem $\begin{align*} x \neq 0 \end{align*}$ . Der Beweis ist ein Einzeiler.

09.07.2017, 10:25

Krischon

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Injektivität gilt ja, wenn der Kern(f)={0}
Kann ich da mit Dimensionen rechnen?

Zu b)
Da W invertierbar ist, folgt: $\begin{eqnarray*} y=Wx <=> W^{-1}y=W^{-1}Wx=x \end{eqnarray*}$
Nach einsetzen folgt:
$\begin{eqnarray*} x^{T}Bx = (W^{-1}y)^{T}BW^{-1}y = y^{T}(W^{-1})^{T}W^{T}AWW^{-1}y = y^{T}Ay \end{eqnarray*}$
Da A positiv definit ist, folgt $\begin{eqnarray*} W^{T}AW \end{eqnarray*}$ ist positiv definit.
Gut?

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