Definitheit einer Matrix

08.07.2017, 17:57	Partialius	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitheit einer Matrix Hallo, wie ist meine Matrix definit, wenn alle Eigenwerte 0 sind?
08.07.2017, 20:57	123Gast456	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe mal davon aus, dass deine Matrix, nennen wir sie $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , reell und symmetrisch ist, also $\begin{eqnarray} A \in Mat(n \times n, \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ positiv semidefinit, falls für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} x^T A x \geq 0 \end{eqnarray}$ . negativ semidefinit, falls für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} x^T A x \leq 0 \end{eqnarray}$ . Es gibt jetzt viele Möglichkeiten, deine Frage zu beantworten. Weiß man, dass positive (bzw. negative) Semidefinitheit dazu äquivalent ist, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nur Eigenwerte $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ (bzw. $\begin{eqnarray} \leq 0 \end{eqnarray}$ ) hat, so ist deine Frage schnell zu beantworten: Deine Matrix ist sowohl positiv semidefinit, als auch negativ semidefinit. Nun kann man sich fragen, welche (symmetrischen) Matrizen überhaupt nur den Eigenwert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ haben können. Man sollte hier noch bemerken, dass symmetrische Matrizen immer diagonalisierbar sind. Ich behaupte die Aussage $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} A \in Mat(n \times n, \mathbb{R}) \end{eqnarray}$ eine (nicht notwendigerweise symmetrische) diagonalisierbare Matrix, die den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -fachen Eigenwert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ hat, so ist $\begin{eqnarray} A = 0 \end{eqnarray}$ . Diese Aussage impliziert auch, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gleichzeitig positiv und negativ semidefinit ist. Versuche $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ mal zu zeigen. Es gibt zwei Beweise für diese Aussage, versuche, was dir besser gefällt: Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ (wie oben) eine diagonalisierbare Matrix, so betrachte das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ (wie oben) eine diagonalsierbare Matrix, so findet man eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} S \in GL(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} S^{-1}AS \end{eqnarray}$ Diagonalgestalt hat. Hat man die Behauptung $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ gezeigt, so weiß man auch, dass es genau eine Matrix gibt, die gleichzeitig positiv und negativ semidefinit ist. (Im Übrigen kann man die Aussage $\begin{eqnarray} () \end{eqnarray}$ noch dahingehend verallgemeinern, dass es keine spezielle Aussage für a) reelle Matrizen, und b) den Eigenwert $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist, d.h., hat eine diagonalisierbare Matrix $\begin{eqnarray} A \in Mat(n \times n, K) \end{eqnarray}$ mit Koeffizienten in einem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ den $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -fachen Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} A = diag(\lambda, ...., \lambda) \end{eqnarray}$ . Die gleichen beiden Beweise funktionieren hier.) PS: Falls $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ komplex und hermitesch ist, kann man natürlich analoge Überlegungen anstellen.

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