Parallele Ebenen

09.07.2017, 14:01

MatheSchülerDE

Parallele Ebenen

Meine Frage:
Gegeben sei die Ebene E : x1 + x2 + x3 = 1. Wie rechnet man den Abstand von dieser Ebene zum Ursprung? Wie kann ich eine Gleichung der Ebene F erstellen die parallel zur Ebene E ist und dabei durch den Punkt P(1/1/1) geht? Zum Schluss muss man zwei weitere Ebenen geben, die parallel zu Ebene E und Ebene F sind und von Ebene F den Abstand 10 haben?

Meine Ideen:
Man könnte vielleicht die Hesse che Normalenform anwenden. Jedoch weiß ich nicht wie das ablaufen soll. Und wie kann ich eine parallele Ebene erstellen und die dabei auch durch einen bestimmten Punkt gehen muss. Beim Abstand könnte man d= 10 und d= -10 nehmen.

09.07.2017, 16:05

mYthos

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Parallele Ebenen haben alle den gleichen Normalvektor bzw. Vielfache davon.
Man kann also deren Gleichung als die Schar

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_3 = c \end{eqnarray*}$

angeben.
Damit wird es dir nicht mehr schwer fallen, jene Ebene (F) zu ermitteln, die durch den Punkt (1; 1; 1) geht.

Zum Abstand: Ja, dieser wird mit der HNF berechnet.
Du bringst die Ebenengleichung zunächst auf Null und dividierst sie durch den Betrag des Normalvektors (normieren).
Der gesuchte Abstand ergibt sich dann durch Einsetzen der Koordinaten des gegenständlichen Punktes.

Zu den Parallelebenen:

Im Abstand $\begin{eqnarray*} \pm p \end{eqnarray*}$ zu einer Ebene E verlaufende parallele Ebenen lauten für

$\begin{eqnarray*} E: \ n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{1,2}: \ \frac {n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 - d}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}} = \pm p \end{eqnarray*}$

Dies ist leicht nachzuvollziehen, wenn man die Koordinaten des Nullpunktes einsetzt:
Dessen Normalabstand von den beiden Ebenen ist $\begin{eqnarray*} d_0 \pm p \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} d_0 = \frac d {\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}} \end{eqnarray*}$

mY+

09.07.2017, 17:54

MatheSchülerDER

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Parallele Ebenen
Parallele Ebene haben den gleichen Normalenvektor...bedeutet das, dass wenn z.B der Normalenvektor der Ebene E n(2/3/-2) ist, ist das Vielfache davon einfach etwas durch eine Zahl erweitert. BSP: n(4/6/-4) wäre das z.B das vielfache?

Spricht der Normalenvektor der Ebene E ist n(1/1/1), dann sollte die Ebene 2x1 + 2x2 +3x3= 1 parallel zur Ebene E sein?

Damit jetzt die Ebene durch den Punkt (1/1/1) geht muss ich die jetzt einfach in die x1 x2 und x3 einsetzen?

Und danach HNS?

und wie kann ich die Ebenen so darstellen dass sie einen Abstand von 10 haben?

09.07.2017, 18:34

Dopap

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RE: Parallele Ebenen

Zitat:

Original von MatheSchülerDER
Parallele Ebene haben den gleichen Normalenvektor...bedeutet das, dass wenn z.B der Normalenvektor der Ebene E n(2/3/-2) ist, ist das Vielfache davon einfach etwas durch eine Zahl erweitert. BSP: n(4/6/-4) wäre das z.B das vielfache?

ja.
kurz: die Normalenvektoren ( $\begin{eqnarray*} \vec n \neq \vec 0 \end{eqnarray*}$ ) paralleler Ebenen sind linear abhängig

Zitat:

Spricht der Normalenvektor der Ebene E ist n(1/1/1), dann sollte die Ebene 2x1 + 2x2 +3x3= 1 parallel zur Ebene E sein?

nein aber $\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2+2x_3=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Damit jetzt die Ebene durch den Punkt (1/1/1) geht muss ich die jetzt einfach in die x1 x2 und x3 einsetzen?

nein, aber z.B. in $\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2+2x_3=c \quad \text{den Punkt (1/1/1) einsetzen} \Rightarrow c=6 \quad \Rightarrow 2x_1+2x_2+2x_3=6 \quad \Leftrightarrow \quad x_1+x_2+x_3=3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und danach HNS?

nein nicht notwendig !

und wie kann ich die Ebenen so darstellen dass sie einen Abstand von 10 haben?[/quote]

09.07.2017, 21:16

SCHÜLER132

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RE: Parallele Ebenen
Könntest du mir diese Aufgabe mal rechnen, damit ich es mal durchblicken kann und weiter Aufgaben selber erledigen kann. Danke im Vorraus!

09.07.2017, 23:23

mYthos

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Gerechnet an deiner Aufgabe wird hier von uns nichts, das ist dein Part, aber wir helfen dir dabei.

Es sieht allerdings ganz danach aus, als hättest du meine Antwort vollkommen ignoriert oder nicht gelesen oder du kannst nichts damit anfangen?
Zumindest die erste Teilaufgabe, die Parallelebene durch den Punkt solltest du nach den Erklärungen hier schaffen können.
Und wie man den Abstand eines Punktes berechnet, ist auch kein Mirakel.
Es wird doch in deinem Unterricht schon etwas darüber vermittelt worden sein?

Es sei dir an einem (anderen) Beispiel gezeigt:
Bestimme den Normal-Abstand $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ des Punktes $\begin{eqnarray*} P(3; 4; 8) \end{eqnarray*}$ von der Ebene $\begin{eqnarray*} E: \ 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{HNF: }\frac{2x_1 - x_2 + 2x_3 - 12}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}=0 \ \to \ \frac{2x_1 - x_2 + 2x_3 - 12} 3=0 \end{eqnarray*}$

Nun die Koordinaten des Punktes anstatt $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ einsetzen, das ergibt rechts nicht mehr Null, sondern den gesuchten Abstand.

$\begin{eqnarray*} p = \frac{6 - 4 + 16 - 12} 3 = 2 \end{eqnarray*}$

Der Abstand des Nullpunktes von E ist übrigens $\begin{eqnarray*} p_0 = -\frac{12} 3 = -4 \end{eqnarray*}$

Wenn es nur um die Länge geht, nimmt man den Betrag, also $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ .
Das negative Vorzeichen hier weist darauf hin, dass der (Null-)Punkt auf der zu der Richtung des Normalvektors entgegengesetzten Seite der Ebene liegt.

--------------

Es gibt auch eine andere vektorielle Methode zur Bestimmung des Normalabstandes, welche letztendlich ebenfalls auf die HNF hinauskommt.
Ich weiß ja nicht, wie ihr es im Unterricht gemacht habt ...

Es sei $\begin{eqnarray*} A(0; 0; 6) \end{eqnarray*}$ ein Stützpunkt der Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ mit ihrem Normalvektor $\begin{eqnarray*} \vec n = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(3; 4; 8) \end{eqnarray*}$ .
Nun wird der Normalvektor zu $\begin{eqnarray*} \vec {n_0} \end{eqnarray*}$ normiert, $\begin{eqnarray*} \vec {n_0} = \frac 1 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für den Normalabstand (Betrag) $\begin{eqnarray*} p = (P; E) = |\overrightarrow{AP} \cdot \vec {n_0}| \end{eqnarray*}$

Es wird also mittels des Skalarproduktes der Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AP} \end{eqnarray*}$ auf den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ projiziert, wodurch sich der Abstand ergibt:

$\begin{eqnarray*} p = \frac 1 3 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \end{eqnarray*}$

--------------

Und warum steigst du nicht mit deinem Account ein?
Letztendlich heißt es NICHT HNS sondern HNF (Hesse'sche NormalForm)

mY+

09.07.2017, 23:32

SchülerB

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SO jetzt hab ich es verstanden. Danke!
Wie kann ich jetzt jedoch zwei weitere Ebenen erstellen, die den Abstand 10 haben zu der neu erstellten Ebene F?

Danke im Voraus!

10.07.2017, 01:08

mYthos

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Das steht doch auch schon in meinem ersten Beitrag.
Bringe die Ebene in die Hesse'sche Normalform und addiere zum konstanten Glied +/- 10

Du kannst natürlich auch den längeren Weg gehen, von einem Stützpunkt A der Ebene E das +/- 10-fache des normierten Normalvektors abtragen und durch die solcherart erhaltenen Endpunkte die beiden parallelen Ebenen legen.

mY+

10.07.2017, 07:43

SchülerA

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Dann sieht es so aus : x1 + x2 +x3= 3
x1+x2+x3-3=0

Einsetzen in die Hesse che Normalenform:

x1+x2+x3-3 / Wurzel von 3

jetzt + 10 oder wie?

Hast du für diese Aufgabe wieder ein Beispiel oder war das oben schon richtig?

10.07.2017, 09:20

Dopap

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Zitat:

Original von SchülerA
[...] Dann sieht es so aus : x1 + x2 +x3= 3
x1+x2+x3-3=0

Einsetzen in die Hesse che Normalenform:

x1+x2+x3-3 / Wurzel von 3 [...]

Hier wird nichts eingesetzt höchstens umgeform. sauber schreiben!

$\begin{eqnarray*} E_1: \, x_1+x_2+x_2-3 &=0 & \qquad \bigg | :\sqrt 3 \\ E_1: \, \frac {x_1+x_2+x_2-3}{\sqrt 3}&=& 0 \end{eqnarray*}$

und für die Null kann man (orientierte) Abstände einsetzen.

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} \pm 10 \end{eqnarray*}$ einsetzt erhältst du 2 neue Ebenen die untereinander den Abstand 20 haben. E1 ist dazu symmetrisch. Klar soweit ?

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Dann verschiebe mal die Ebene $\begin{eqnarray*} E: 7x_1-11x_2+19x_3= 345 \end{eqnarray*}$ parallel um 3 Einheiten näher zum Ursprung hin Augenzwinkern

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