Variable definieren, damit Reihe konvergiert

10.07.2017, 01:09

Praetorian

Variable definieren, damit Reihe konvergiert

Hallo zusammen,

folgendes Problem in meiner Klausurvorbereitung gefunden und stehe jetzt aufm Schlauch:
"Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ damit folgende Reihe konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k}}{(1 + a^2)^{k -1}} \end{eqnarray*}$ "

Mein Ansatz wäre das (ich möchte wenn möglich nicht auf Mino-/Majoranten zurückgreifen) die Reihe dann Konvergiert wenn $\begin{eqnarray*} q < 1 \end{eqnarray*}$ des Quotientenkriteriums zutrifft.
Dies ist dann der Fall wenn der untere Teil schneller gegen 0 geht als der Obere.

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k + 2} * (1 + a^2)^{k - 1}}{(1 + a^2)^k * a^{2k}} = \frac{a*a*a^{2k} * (1 + a^2)^{k - 1}}{(1 + a^2)^k * a^{2k}} = \frac{a^2*(1 + a^2)^{k - 1}}{(1 + a^2)^k} \end{eqnarray*}$

Soweit kann man kürzen, danach wäre mein Ansatz eine Ungleichung aufzustellen, aber hier komme ich nicht mehr weiter. Alternativen oder Lösungsansätze wären echt 'ne Sache! Falls ich die Ungleichung weiterverfolge ist ne Fallunterscheidung nötig für $\begin{eqnarray*} 1 + a^2 >= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 + a^2 < 0 \end{eqnarray*}$ , worauf ich dann keine sinnvolle Lösung bekomme.

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2*(1 + a^2)^{k - 1}}{(1 + a^2)^k} < 1 \Rightarrow a^2*(1 + a^2)^{k - 1} < (1 + a^2)^k : 1 + x^2 > 0 \Rightarrow ? \end{eqnarray*}$

Übrigens Entschuldigung falls diese Frage schon mal diskutiert wurde, ich konnte mit einer Suche nichts finden (bin aber gern mal blind).
Vielen Dank schon mal.

10.07.2017, 02:01

Dustin

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Abgesehen davon, dass am Anfang das Summenzeichen fehlt, wenn es sich um eine Reihe handeln soll (ich schiebe das mal auf "kein Bock auf LaTex" xD):
Warum kürzt du den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \frac {a^2 \cdot (1+a^2)^{k-1}}{(1+a^2)^k} \end{eqnarray*}$
nicht einfach noch weiter?

10.07.2017, 02:37

Praetorian

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Vielen Dank für die schnelle Antwort Dustin smile

Tatsächlich hatte ich es anfangs drinnen, hab nen Addon was Tabs pausiert wenn ich davon weggehe und hab dann die Gesamte Eingabe verloren (bei den Wänden von Text, ja, kein Bock mehr ^^).

Das hatte ich auch gemacht; falls man das darf bin ich so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2 * (1 + a^2)^{k}}{(1 + a^2)^k*(1 + a^2)} \Rightarrow \frac{a^2}{1 + a^2} \Rightarrow a^2 < 1 + a^2 \Rightarrow 0 < 1 : 1 + a^2 > 0 \Rightarrow a^2 > -1 \end{eqnarray*}$

Bin mir ehrlich gesagt nicht mal sicher ob ich so mit der Potenz umgehen darf. Das man irgendwas hoch +1 als Faktor "vormultiplizieren" kann ist klar, aber bei -1... logisch wäre natürlich das teilen durch den Faktor wie ich eh gemacht habe, aber wie gesagt bin mir da recht unsicher.

Ab hier musste ich dann auch aufhören da Wurzel ziehen von negativen Zahlen nicht wirklich behandelt wurde, also darf ich da streng genommen nicht mit rechnen (irrationale Zahlen ftw)! Vermute aber das ich da einen Fehler eingebaut hab.

Da der Term ja eigentlich gegen 1 geht heißt es das ich mit dem Quotientenkriterium nix anfangen kann, was natürlich schlecht ist da Wurzelkriterium nicht geeignet ist und sonst nur Sandwich/Major-/Minoranten bleibt...

10.07.2017, 07:34

Dopap

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Zitat:

Original von Praetorian
[...]
Das hatte ich auch gemacht; falls man das darf ( ja, das nennt man Erweitern mit 1+a² ungleich Null ) bin ich so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2 * (1 + a^2)^{k}}{(1 + a^2)^k*(1 + a^2)} \Rightarrow \frac{a^2}{1 + a^2} \Rightarrow a^2 < 1 + a^2 \Rightarrow \underbrace {0 < 1 : 1 + a^2 > 0 }_{ ???} \Rightarrow a^2 > -1 \end{eqnarray*}$

? Du vermischt Gleichheitszeichen mit Folgerungen. Sokann man nur ahnen was du meinst. Selbst Gleichungsketten können Problematisch sein. So schaut es richtig aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2 * (1 + a^2)^{k}}{(1 + a^2)^k*(1 + a^2)}&<&1 \Rightarrow \frac{a^2}{1 + a^2}&<&1 \Rightarrow a^2 &<& 1 + a^2 \Rightarrow 0&<&1 \quad \text{falsch} \end{eqnarray*}$

Das hat jetzt nichts mit der eigentlichen Frage zu tun ! Da soll Dustin weitermachen.

10.07.2017, 10:39

10001000Nick1

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Abgesehen davon, dass 0<1 wohl kaum eine falsche Aussage ist, würde ich das nicht als "richtig" bezeichnen. Zumindest müssten Äquivalenzpfeile zwischen die einzelnen Ungleichungen.

Warum nicht so?
$\begin{eqnarray*} \frac {a^2 \cdot (1+a^2)^{k-1}}{(1+a^2)^k}=\frac{a^2}{1+a^2} \end{eqnarray*}$ ; und wegen $\begin{eqnarray*} 0\leq a^2<1+a^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{1+a^2}<... \end{eqnarray*}$

Oder auch $\begin{eqnarray*} \frac {a^2 \cdot (1+a^2)^{k-1}}{(1+a^2)^k}=\frac{a^2}{1+a^2}=1-\frac{1}{1+a^2}<... \end{eqnarray*}$

10.07.2017, 10:49

Dustin

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@Dopap: 0<1 falsch??? Ich erhebe Einspruch! Augenzwinkern

@Praetorian: Da siehst du aber den Wald vor Bäumen nicht, denn - abgesehen von der von Dopap schon zu Recht kritisierten formalen Fehler - hast du die Aufgabe bereits sog ut wie gelöst. Du meinst ja höchstwahrscheinlich Folgendes:

1. Das Quotientenkriterium liefert den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2k + 2} \cdot (1 + a^2)^{k - 1}}{(1 + a^2)^k \cdot a^{2k}} =...=\frac{a^2}{a^2+1} \end{eqnarray*}$ .

2. Soll die Reihe konvergieren, so muss dieser Ausdruck kleiner als 1 sein, also
$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{a^2+1}<1 \end{eqnarray*}$ .
Da der Nenner immer positiv ist (denn Quadrate sind nichtnegativ, das ist das Einzige, was dir nicht aufgefallen ist!), ist dies äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} a^2<a^2+1 \Leftrightarrow 0<1 \end{eqnarray*}$ ,
was offensichtlich wahr ist.

3. Schlussfolgerung: Die Reihe konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ !

Und das hier...

Zitat:

Bin mir ehrlich gesagt nicht mal sicher ob ich so mit der Potenz umgehen darf. Das man irgendwas hoch +1 als Faktor "vormultiplizieren" kann ist klar, aber bei -1... logisch wäre natürlich das teilen durch den Faktor wie ich eh gemacht habe, aber wie gesagt bin mir da recht unsicher.

Ab hier musste ich dann auch aufhören da Wurzel ziehen von negativen Zahlen nicht wirklich behandelt wurde, also darf ich da streng genommen nicht mit rechnen (irrationale Zahlen ftw)! Vermute aber das ich da einen Fehler eingebaut hab.

Da der Term ja eigentlich gegen 1 geht heißt es das ich mit dem Quotientenkriterium nix anfangen kann, was natürlich schlecht ist da Wurzelkriterium nicht geeignet ist und sonst nur Sandwich/Major-/Minoranten bleibt...

...enthält ziemlich viel Blödsinn, der aber ja für die Aufgabe ohnehin nicht relevant ist Augenzwinkern

10.07.2017, 10:52

Praetorian

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Zumindest habe ich dann richtig gekürzt...
Entschuldige wegen der unverständlichen Schreibweise!

Und lauter Antworten wie ich am schreiben war ^^
Ja ich prokrastiniere gerne mal wenn ich mir unsicher werde, da kommt viel Mist raus. Und ja, da hab ich wirklich nicht mehr gespannt das da offensichtlich eine Lösung war Hammer

Vielen Dank an alle nochmal!

10.07.2017, 12:13

Dopap

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Abgesehen davon, dass 0<1 wohl kaum eine falsche Aussage ist, würde ich das nicht als "richtig" bezeichnen. Zumindest müssten Äquivalenzpfeile zwischen die einzelnen Ungleichungen.

wenn man statt Äquivalenz bequemerweise Implikation verwendet begeht man keinen logischen Fehler.

10.07.2017, 12:21

Dustin

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Das stimmt, aber erreicht hätte man auch nichts. Man hätte aus einer vom Wahrheitsgehalt her unbekannten Aussage eine wahre gefolgert. Dadurch hat man keine Erkenntnis über den Wahrheitsgehalt der ersten Aussage gewonnen.

10.07.2017, 20:48

Dopap

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einverstanden !
Wenn wie hier Lösungsmengen von Aussageformen gesucht sind sollte man schon den Äquivalenzpfeil verwenden auch dann, wenn er bei Gleichungen "sowieso" gilt. Auch deshalb, um eine Nichtäquivalenz deutlich abzugrenzen.

Beispiel ( für die Mitleser ):

$\begin{eqnarray*} \sqrt {(x^2+13)-(2x^2+8x)}&=&x-5 \quad \Leftrightarrow \\ \sqrt {-x^2-8x +13}&=&x-5 \quad \Rightarrow \\ -x^2-8x+13&=&x^2-10x+25 \Leftrightarrow\\ -2x^2+2x -12&=& 0\\ x^2 -x +6&=&0 \end{eqnarray*}$

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