Untergruppe von (Z/pZ), p Primzahl |
| 10.07.2017, 11:31 | BackTag42 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Untergruppe von (Z/pZ), p Primzahl Ich habe mir gerade den Wikipedia-Artikel zum Satz von Lagrange angeschaut und bin darauf gestoßen: "Endliche Gruppen, deren Gruppenordnung eine Primzahl ist, sind nach dem Satz von Lagrange zyklisch und einfach. Da die Gruppenordnung eine Primzahl ist, kann es nämlich nach dem Satz von Lagrange nur die trivialen Untergruppen geben und somit erzeugt jedes nicht neutrale Element bereits die ganze Gruppe und es gibt nur die trivialen Normalteiler." - (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange) Aber wieso? (Den Satz von Lagrange habe ich im Zusammenhang mit Nebenklassen und Normalteilern gelernt. Deswegen verstehe ich generell noch nicht, warum die Untergruppe die Ordnung teilen muss. Ich sehe noch keine Verbindung zwischen Nebenklassen und Untergruppen) Wenn man eine Einheitengruppe hat, gibt es doch nur 4 Elemente, die diese Gruppe erzeugen: 2, 6, 7, 11. Alle anderen Elemente der Gruppe haben nicht die Ordnung 12 und können somit die die ganze Gruppe erzeugen. Aber in dem Wikipedia Artikel steht das so "(...) somit erzeugt jedes nicht neutrale Element bereits die ganze Gruppe (...)". Und warum ist \{1, 3, 9\} dann keine Untergruppe? Erfüllt diese Menge nicht alle Kriterien? Irgendwo habe ich hier einen Denkfehler drin. Meine Ideen: Ich finde leider keinen Ansatz. Irgendwas fundamentales verstehe ich anscheinend noch nicht. Vermutlich übersehe ich etwas. Danke schon mal 
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| 10.07.2017, 11:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Beweis zum Satz von Lagrange steht in dem Wikipedia-Artikel. Dort steht, dass die Nebenklassen G/H gleichmächtig sind und die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf G sind, also G disjunkt zerlegen. Deshalb ist |G|=[G:H]|H|, also |H| ein Teiler von |G|. 12 ist keine Primzahl, deshalb ist nicht jedes Element der zyklischen Gruppe der Ordnung 12 ein Erzeuger. {1,3,9} ist eine Untergruppe der Ordnung 3 der Gruppe der Ordnung 12, ich sehe da kein problem. |
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| 10.07.2017, 13:26 | BackTag42 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ah, ja ich habe vergessen, dass die Einheitengruppe da ja ein Element weniger hat. Das macht Sinn. Ich hab das jetzt mal mit probiert. Da haben ja alle Elemente die Ordnung 13, dann macht das auch Sinn. Zu Lagrange Okay, hab das jetzt nochmal alles durchgearbeitet und jetzt habe ich den Zusammenhang gefunden. Danke! |
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