Grenzwert

10.07.2017, 21:22

Sabrina_L

Grenzwert

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich komm irgendwie bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Laut Lösung ist der Grenzwert 1

Wenn ich es gegen unendlich laufen lasse dann bekomme ich ja 0/1 raus.

Oder lieg ich da komplett falsch?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }\frac{x-ln(x)}{\sqrt{1+x^2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
-

10.07.2017, 21:49

Dustin

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Ja, das ist leider falsch. Der Grenzwert des Zählers ist nicht Null. Es handelt sich (im Zähler) um den Fall $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ , d.h. den Grenzwert des Zählers müsste man erst einmal gesondert bestimmen.

Stattdessen kann man in diesem Fall aber auch sehr gut den Bruch "splitten":
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac {x-\ln (x)}{\sqrt{1+x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac {x}{\sqrt{1+x^2}} - \lim_{x \to \infty} \frac {\ln (x)}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

Dabei muss man zwar vorsichtig sein, weil dies nur gilt, falls beide Grenzwerte auf der rechten Seite existieren, was hier aber erfüllt ist (wie du, wenn du beide Grenzwerte richtig berechnest, sehen wirst!)

LG Dustin

10.07.2017, 21:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sabrina_L
Wenn ich es gegen unendlich laufen lasse dann bekomme ich ja 0/1 raus.

Nein. Es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac{x-\ln(x)}{\sqrt{1+x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1-\frac{\ln(x)}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}} = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$ ,

dabei nutzt man $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Huch, etwas spät dran. geschockt