Rekursion in Funktion umwandeln

10.07.2017, 23:36

Der_Apfel

Rekursion in Funktion umwandeln

Gegeben ist die nichtlineare Rekursion:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a_n} = \sqrt{a_{n-1}} + 12\sqrt{a_{n-2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=1 \end{eqnarray*}$ , man soll nun diese Rekursion in eine lineare überführen, in dem man mit $\begin{eqnarray*} b_n = \sqrt{a_n} \end{eqnarray*}$ substituiert. Meine Idee war dann, da es eine lineare, homogene Rekursion zweiter Ordnung ist:

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 = \lambda + 12 \leftrightarrow (\lambda-3)(\lambda+4) \leftrightarrow \lambda_1 = 3, \lambda_2 = -4 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} a_n = \alpha3^n - \beta4^n \end{eqnarray*}$

Nach dem Einsetzen der Anfangsbedingungen:

$\begin{eqnarray*} a_n = 3\cdot3^n - 2\cdot4^n \end{eqnarray*}$

Jetzt ist zwar $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=1 \end{eqnarray*}$ , aber die Werte danach stimmen nicht mehr, wie genau rücksubstituiere ich nun $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_n} \end{eqnarray*}$ ?

10.07.2017, 23:55

Helferlein

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RE: Rekursion in Funktion umwandeln

Zitat:

Original von Der_Apfel

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 = \lambda + 12 \leftrightarrow (\lambda-3)(\lambda+4) \leftrightarrow \lambda_1 = 3, \lambda_2 = -4 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{align*} 3^2=3+12 \end{align*}$ verwirrt

Mal ganz davon abgesehen, dass eine Gleichung niemals zu einem einzelnen Term äquivalent sein kann.

Der nächste Fehler ist dann die Schlußfolgerung auf $\begin{align*} a_n \end{align*}$ . Wenn das so direkt gehen würde, wozu brauchst Du dann die Substitution? Und wo hast Du sie überhaupt eingesetzt?

11.07.2017, 09:10

Der_Apfel

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Ja ich verstehe nicht, wie und was man substituiert bzw. was ich mit den $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_{n-2}} \end{eqnarray*}$ machen soll unglücklich

Z.b. bringt mich das ja nicht weiter, oder?

$\begin{eqnarray*} b_n = \sqrt{a_{n-1}} + 12\sqrt{a_{n-2}} \end{eqnarray*}$

11.07.2017, 09:41

HAL 9000

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Richtige Ideen, aber Unachtsamkeiten an diversen Stellen zerstören das Ergebnis: Richtig ist, dass $\begin{align*} b_n = \sqrt{a_n} \end{align*}$ die lineare Differenzengleichung $\begin{align*} b_n - b_{n-1} - 12b_{n-2} = 0 \end{align*}$ erfüllt. Die zugehörige charakteristische Gleichung $\begin{align*} \lambda^2-\lambda-12=0 \end{align*}$ hat aber (wie von Helferlein richtig angemerkt) nicht die Lösungen 3 und -4, sondern stattdessen 4 und -3. Die allgemeine Lösung der Differenzengleichung ist somit $\begin{align*} b_n = \alpha 4^n + \beta (-3)^n \end{align*}$ . Jetzt kannst du mit Hilfe der Anfangsbedingungen $\begin{align*} b_0=b_1=1 \end{align*}$ die Parameter $\begin{align*} \alpha,\beta \end{align*}$ ausrechnen, um zum Schluss dann zu $\begin{align*} a_n \end{align*}$ zurückzukommen (d.h., einfach das erhaltene $\begin{align*} b_n \end{align*}$ quadrieren).

11.07.2017, 14:17

Der_Apfel

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Vielen Dank ihr beiden,
also das darf mir in der Prüfung ja nicht passieren mit den Nullstellen der charakteristischen Gleichung unglücklich

Habs dann so gelöst:

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda^2 - \lambda - 12 \leftrightarrow 0 = (\lambda -4)(\lambda+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 4, \lambda_2 = -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n = \alpha4^n + \beta(-3)^n \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} b_0 = 1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 1 = \alpha + \beta \rightarrow \alpha = 1-\beta \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} b_1 = 1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} 1 = (1-\beta) \cdot 4 - 3\beta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta = \frac{3}{7} \rightarrow \alpha = \frac{4}{7} \end{eqnarray*}$

Daraus erhält man dann die spezielle Lösung:

$\begin{eqnarray*} b_n = \frac{4}{7}4^n + \frac{3}{7}(-3)^n \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} b_n = \sqrt{a_n} \rightarrow a_n = (b_n)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n = (\frac{4}{7}4^n + \frac{3}{7}(-3)^n)^2 \end{eqnarray*}$

11.07.2017, 14:34

HAL 9000

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Ja, ist richtig. Man kann es noch etwas netter schreiben als $\begin{align*} a_n = \left( \frac{4^{n+1} - (-3)^{n+1}}{7} \right)^2 \end{align*}$ , aber das ist nicht zwingend nötig. Augenzwinkern

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