Gleichseitige quadratische Pyramide wird zerlegt

11.07.2017, 14:04	simbodini	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichseitige quadratische Pyramide wird zerlegt Meine Frage: Aufgabe lautet: Eine gleichseitige quadratische Pyramide wird so in zwei Teile zerlegt, dass die Schnittflächen von einer Grundlinie genau bis zur Mitte der gegenüberliegenden Seite verläuft. Bestimmen Sie, wie groß der obere Teil verglichen mit der Ausgangspyramide ist. Leiten Sie das Ergebnis plausibel her. Meine Ideen: Wenn die Pyramide in der Mitte waagerecht geteilt wird ist es ja einfach. Da entsteht eine neue Pyramide und ein Pyramidenstumpf und die neue (kleine) Pyramide ist in etwa ein achtel so groß wie die Gesamtpyramide. Jedoch steig ich bei der oben genannten Aufgabe nicht ganz hinter. Rein theoretisch entsteht bei dem unteren Körper ja eine Art Keil, jedoch ist der ja nicht wichtig für die Beantwortung der Frage. Ich hätte jetzt gesagt, dass der obere Körper ungefähr halb so groß ist wie die Ausgangspyramide. Eine Herleitung fällt mir dazu aber nicht wirklich ein.. Danke schon mal im voraus!
11.07.2017, 17:08	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichseitige quadratische Pyramide wird zerlegt was darfst/ sollst du denn verwenden: Vektoren, Trigonometrie ....
11.07.2017, 21:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Aufgabe mit Analytischer Geomtrie gelöst. Als aber so ein simples Ergebnis herauskam, dachte ich, das muß auch einfacher gehen. Es sei $\begin{align} ABCD \end{align}$ das Grundquadrat und $\begin{align} Z \end{align}$ die Pyramidenspitze. Die Strecke $\begin{align} CZ \end{align}$ werde durch $\begin{align} C' \end{align}$ halbiert, die Strecke $\begin{align} DZ \end{align}$ durch $\begin{align} D' \end{align}$ . Weiter sei $\begin{align} P \end{align}$ die Mitte von $\begin{align} AB \end{align}$ und $\begin{align} Q \end{align}$ die Mitte von $\begin{align} CD \end{align}$ . Das Trapez $\begin{align} ABC'D' \end{align}$ zerlegt die Pyramide in einen Teil, der von dir Keil genannt wurde, und in eine obere Pyramide. Den Keil kann man in drei Pyramiden zerlegen: Pyramide 1 mit Grundfläche $\begin{align} APQD \end{align}$ und Spitze $\begin{align} D' \end{align}$ , Pyramide 2 mit Grundfläche $\begin{align} BCQP \end{align}$ und Spitze $\begin{align} C' \end{align}$ (diese beiden Pyramiden sind offenbar kongruent, wie eine Spiegelung an der Ebene $\begin{align} PQZ \end{align}$ zeigt) und Pyramide 3 mit Grundfläche $\begin{align} C'D'Q \end{align}$ und Spitze $\begin{align} P \end{align}$ . Das Volumen von Pyramide 1 und 2 kann leicht als Anteil des Volumens der Gesamtpyramide angegeben werden, denn die Grundflächen und Höhen hängen in einfacher Weise miteinander zusammen. Etwas mühsamer ist es nur mit Pyramide 3. Überlege, daß ihr Volumen halb so groß wie das von Pyramide 1 ist. [Tip: Die Strecke $\begin{align} AB \end{align}$ ist parallel zur Strecke $\begin{align} CD \end{align}$ und damit parallel zur Ebene $\begin{align} CDZ \end{align}$ , somit sind auch die Lotstrecken von $\begin{align} A,P \end{align}$ auf $\begin{align} CDZ \end{align}$ gleich lang.]
12.07.2017, 09:55	simbodinii	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Ich denke in etwa so soll der Lösungsansatz aussehen. Werde das ganze mal nachkonstruieren und versuchen zu lösen Willkommen im Matheboard! Du bist hier zweimal angemeldet, der User simbodini wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen
12.07.2017, 13:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So in etwa: [attach]44877[/attach] mY+

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