Binomischer Lehrsatz Anwendung

11.07.2017, 18:55

Anonymunterwegs

Binomischer Lehrsatz Anwendung

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zu zwei nicht ganz zu schweren Aufgaben, wobei ich mir bei der Rechnung trotzdem noch unsicher bin.

Zu zeigen ist:

1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n+1\\ k \end{pmatrix} = 2^{2n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu 1 mithilfe des Binomischen Lehrsatzes:

$\begin{eqnarray*} 0=(1 + (-1))^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k}*(-1)^k =\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} (-1)^k \end{eqnarray*}$

Ist denk ich mal in Ordnung so weit oder ? Falls nicht bitte Bescheid geben smile

Zu 2 ebenfalls mit dem Binomischen Lehrsatz:

$\begin{eqnarray*} 2^{2n}=2^n+2^n=(2^2)^n=4^n=(2+2)^n=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 2^{n-k}*2^k=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}*2^n \end{eqnarray*}$

Stimmt soweit auch hoffe ich mal. Wie komme ich nun auf (2n+1) für mein n ?
Kann mir jemand genau erklären wie ich (n über k) mal 2^n umformen kann, sodass ich auf 2n+1 komme ?

Ich bedanke mich für jede Antwort.

11.07.2017, 19:09

HAL 9000

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Bei 1) sollte man noch dazusagen: Gültig für $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ , denn für $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ gilt die Gleichung (und natürlich auch der Beweis dazu) nicht.

Zu 2) $\begin{align*} 2^{2n} = 2^n+ 2^n \end{align*}$ ist natürlich Unsinn. Nein, nutze den Binomischen Satz für Exponent 2n+1, das ergibt

$\begin{align*} 2^{2n+1} = (1+1)^{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} \end{align*}$ ,

und anschließend besinne man sich auf die Symmetrie $\begin{align*} \binom{2n+1}{k} = \binom{2n+1}{2n+1-k} \end{align*}$ .

12.07.2017, 00:26

Anonymunterwegs

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Oh gott, wie peinlich... 2^n*2^n wenn schon, danke für den Hinweis. Ich verstehe deine Rechenschritte aber wieso zeigst du es jetzt genau für 2^(n+1)? Wollte es doch auf 2^n anwenden oder ist beides äquivalent ? Und wenn ja wieso?

12.07.2017, 07:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Anonymunterwegs
Ich verstehe deine Rechenschritte aber wieso zeigst du es jetzt genau für 2^(n+1)?

An keiner Stelle rede ich von 2^(n+1). unglücklich

Ich würde dir einfach mal empfehlen, meinen Beitrag gründlich zu lesen. Und überleg dir dabei, wieso mein letzter Hinweis dort hilft eine Beziehung zwischen $\begin{align*} \sum_{k=0}^{{\color{red}2n+1}} \binom{2n+1}{k} \end{align*}$ und $\begin{align*} \sum_{k=0}^{{\color{red}n}} \binom{2n+1}{k} \end{align*}$ herzustellen.

12.07.2017, 13:39

Anonymunterwegs

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Entschuldigung, meinte natürlich 2^2n+1. Hab deinen Post jetzt mehrmals durchgelesen und verschiedene Sachen probiert komme aber trotzdem nicht weiter. Ich weis, dass ich die Summe zuerst aufspalten muss oder ? Hab es gerade eben nochmal mit 2^n im Exponenten versucht, bringt mich aber auch nicht wirklich weiter.

12.07.2017, 13:50

klarsoweit

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Aufgrund der erwähnten Symmetrie ist

$\begin{align*} 2^{2n+1} = (1+1)^{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} + \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2 \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} \end{align*}$

Jetzt noch die Gleichung durch 2 dividieren und voila. smile

12.07.2017, 13:57

Anonymunterwegs

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2n+1} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \\ \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2n+1\\ 2n+1 \\ \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ 2n+1-k \\ \end{pmatrix} +1 = 2^{2n+1} \end{eqnarray*}$

Und nun? Wie gehe ich weiter vor?

12.07.2017, 14:01

klarsoweit

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Was soll denn das jetzt? verwirrt

Ich habe dir den Rechenweg hingeschrieben und was machst du daraus? unglücklich

Der wesentliche Schritt ist dabei die Identität $\begin{align*} \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} \end{align*}$

12.07.2017, 14:03

Anonymunterwegs

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Zitat:

Original von klarsoweit
Aufgrund der erwähnten Symmetrie ist

$\begin{align*} 2^{2n+1} = (1+1)^{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} + \sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2 \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{k} \end{align*}$

Jetzt noch die Gleichung durch 2 dividieren und voila. smile

Tut mir leid hab deinen Post zu spät gesehen, danke erstmal für den Lösungsweg, muss den nurnoch vollständig nachvollziehen. Wie ist es denn mit meinem Ansatz? Komm ich damit auch auf die Lösung? Auf die Art die Summe aufzuspalten bin ich jetzt nicht gekommen.

12.07.2017, 14:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Anonymunterwegs
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2n+1} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \\ \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} 2n+1 \\ k \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2n+1\\ 2n+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

War wohl doch nicht nur ein Verschreiber mit dem $\begin{align*} n \end{align*}$ statt $\begin{align*} 2n \end{align*}$ oben, denn hier bist du Wiederholungstäter:

Wenn du den letzten Summanden für $\begin{align*} k=2n+1 \end{align*}$ herauslöst, dann bleibt nicht die Summe $\begin{align*} \sum_{k=0}^n \end{align*}$ übrig, sondern $\begin{align*} \sum_{k=0}^{2n} \end{align*}$ .

Das mal völlig unbenommen davon, dass ich nicht weiß, was diese Operation hier jetzt sinnvolles bezwecken soll. Zum eigentlichen Beweis hat klarsoweit inzwischen ja das Nötige ergänzt.

12.07.2017, 14:23

Anonymunterwegs

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Stimmt du hast recht, vergiss einfach den Ansatz. Habe den Beweis von klarsoweit inzwischen Verstanden. Wo ich Probleme hatte war bei der Summen Aufspaltung und die Identität im vorletzen Schritt zu erkennen smile

Am ende noch 2^2n+1 / 2^1 = 2^2n+1-1= 2^n fertig. Danke für die Hilfe ! Freude

12.07.2017, 14:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Anonymunterwegs
Habe den Beweis von klarsoweit inzwischen Verstanden.

Nun ja, der Beweis ist von HAL 9000. Mein Beitrag war nur, die einzelnen Hinweise mal in eine Zeile zu schreiben. Diesen Teil solltest du eigentlich leisten, aber vielleicht erwarten wir manchmal zu viel. smile

12.07.2017, 14:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Anonymunterwegs
2^2n+1 / 2^1 = 2^2n+1-1= 2^n

An alle LaTeX-Verweigerer: Bitte wenigstens Klammern setzen!

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