Orthogonale und unitäre Matrizen |
11.07.2017, 19:33 | Statista | Auf diesen Beitrag antworten » |
Orthogonale und unitäre Matrizen Zeige, dass orthogonale Matrizen unitär sind. Meine Ideen: Ich habe folgenden Beweis angefertigt und wundere mich gerade, ob dies wirklich alles sein kann, also: habe ich etwas vergessen? Eine Matrix M ist genau dann unitär, wenn folgendes gilt: 1. Sie ist quadratisch. 2. Die Einträge der Matrix kommen aus . 3. Sie ist auf als Abbildung eine Isometrie. 4. Die Matrix ist invertierbar. 5. Es gilt Jetzt sei eine beliebige orthogonale Matrix A gegeben. Zu 1: Erfüllt nach Definition einer orthogonalen Matrix. Zu 2: Die Einträge aus A sind reell, somit können wir sie auch als komplex auffassen. Zu 4: Die Matrix A ist per Definition einer orthogonalen Matrix über invertierbar, also können wir sie auch als invertierbar über auffassen. Zu 3: Es gilt nach Definition einer orthogonalen Matrix: , da alle Einträge aus A reell sind, gilt . Mit einem Korollar aus unserem Skript folgt nun: A ist eine Isometrie. Zu 5: Mit dem selben Korollar folgt aus der Eigenschaft, dass A eine Isometrie ist, dass gilt. Somit gilt: Damit wäre die Matrix unitär. Irgendwas vergessen irgendwelche Fehler? |
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22.07.2017, 23:07 | Euklid93 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, nichts vergessen. Da unitär nur eine Verallgemeinerung von orthogonal ist, ist diese Implikation auch nicht sonderlich überraschend :-) Euklid93 |
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