Orthogonale und unitäre Matrizen

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Statista Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale und unitäre Matrizen
Meine Frage:
Zeige, dass orthogonale Matrizen unitär sind.

Meine Ideen:
Ich habe folgenden Beweis angefertigt und wundere mich gerade, ob dies wirklich alles sein kann, also: habe ich etwas vergessen?

Eine Matrix M ist genau dann unitär, wenn folgendes gilt:

1. Sie ist quadratisch.
2. Die Einträge der Matrix kommen aus .
3. Sie ist auf als Abbildung eine Isometrie.
4. Die Matrix ist invertierbar.
5. Es gilt

Jetzt sei eine beliebige orthogonale Matrix A gegeben.

Zu 1: Erfüllt nach Definition einer orthogonalen Matrix.
Zu 2: Die Einträge aus A sind reell, somit können wir sie auch als komplex auffassen.
Zu 4: Die Matrix A ist per Definition einer orthogonalen Matrix über invertierbar, also können wir sie auch als invertierbar über auffassen.
Zu 3: Es gilt nach Definition einer orthogonalen Matrix: , da alle Einträge aus A reell sind, gilt . Mit einem Korollar aus unserem Skript folgt nun: A ist eine Isometrie.
Zu 5: Mit dem selben Korollar folgt aus der Eigenschaft, dass A eine Isometrie ist, dass gilt. Somit gilt:

Damit wäre die Matrix unitär. Irgendwas vergessen irgendwelche Fehler?
Euklid93 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nichts vergessen. Da unitär nur eine Verallgemeinerung von orthogonal ist, ist diese Implikation auch nicht sonderlich überraschend :-)

Euklid93
 
 
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