Wendepunkte / Krümmungsverhalten

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Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkte / Krümmungsverhalten
Hallo zusammen,

mal eine Frage zur einfachen Bestimmung von Wendepunkten einer Funktion wie sie im Rahmen von Abiturprüfungen auch Leistungskursen auftreten können:

Notwendige Bedingung: f''(xw) = 0 ist mir soweit klar.

Ich lese an vielen Stellen allerdings immer von der Benutzung der 2. Ableitung zur Bestimmung der Krümmung. Müsste man nicht vorher noch überprüfen, ob die 1. Ableitung ungleich 0 ist? Ich denke mir das so, weil für:

f''(x) = 0 und f'(x) = 0

ja eigentlich Sattelpunkte definiert sind.

Außerdem lässt sich doch die Krümmung meines Verständnisses nach ermitteln für f'(xw) > 0 -> LR-Krümmung und für f'(xw) < 0 -> RL-Krümmung.

Ich bin mir da nicht sicher, deswegen Frage ich noch einmal nach. Ist das richtig, wenn ich das so mache oder fehlt da was oder ist es schlichtweg falsch?

Meinem Verständnis nach bin ich also der Ansicht, dass man die 2. Ableitung nur für die Bestimmung der notwendigen Bedingung braucht und sonst auch mit der 1. Ableitung die Krümmung und die hinreichende Bedingung überprüfen können müsste.

Ich bin deshalb daran interessiert, da ich zur Bestimmung der Krümmung mittels der 2. Ableitung den Vorzeichenwechsel eigentlich mit 2 Rechnungen zeigen müsste. Wenn ich aber einfach wie gezeigt in die 1. Ableitung einsetzen kann und daraus sicher wie gezeigt auf das Krümmungsverhalten schließen kann, dann würde das Zeit sparen.

Gruß, Asca
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkte / Krümmungsverhalten
Zitat:
Original von Ascareth
Ich lese an vielen Stellen allerdings immer von der Benutzung der 2. Ableitung zur Bestimmung der Krümmung. Müsste man nicht vorher noch überprüfen, ob die 1. Ableitung ungleich 0 ist? Ich denke mir das so, weil für:

f''(x) = 0 und f'(x) = 0

ja eigentlich Sattelpunkte definiert sind.

Außerdem lässt sich doch die Krümmung meines Verständnisses nach ermitteln für f'(xw) > 0 -> LR-Krümmung und für f'(xw) < 0 -> RL-Krümmung.

Auch Sattelpunkte sind Wendepunkte. Vom Wesen her sind Wendepunkte Extrema der Steigungsfunktion, also der 1. Ableitung. Von daher kommt auch die notwendige Bedingung f''(x_w) = 0 . Ist in x_w die 3. Ableitung ungleich Null, haben wir einen Wendepunkt. Das Vorzeichen von f'''(x_w) gibt an, ob man im Wendepunkt eine LR- oder eine RL-Krümmung hat.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ein wenig durcheinander.

hat eine Nullstelle mit VZW ist hinreichend.

Ist jetzt nur die Frage wie man den VZW feststellt.

Das kannst du selbst überlegen.

Hat y:= x^17 bei x=0 einen Wendepunkt ?
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage einmal anders herum: Ist es möglich, dass eine Wendetangente eines Wendepunktes einer Linksrechtskrümmung eine negative Steigung aufweisen kann? Fall ja: Könnte jemand ein Beispiel zeigen bitte? (Ausnahme Sattelpunkte)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte sehr: Augenzwinkern

Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden.

Anfangs sah es für mich so aus, als könnte man über f' > 0 oder f' < 0 das Krümmungsverhalten bestimmen smile .

Manchmal braucht man / ich wohl einen kleinen Denkanstoß.

Es geht tatsächlich nur über den VZW von f'' oder über f''' > 0; f''' < 0.

Danke! smile
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ascareth

Es geht tatsächlich nur über den VZW von f'' oder über f''' > 0; f''' < 0.



und was ist, wenn bei ist ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

An wen richtet sich jetzt die Frage? An mich oder Ascareth? Wenn man auf die Untersuchung der höheren Ableitungen verzichten will, kommt man zumindest mit dem VZW-Kriterium weiter.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Selbst bei beliebig oft differenzierbaren Funktionen gibt es kein Kriterium für die Einstufung von Punkten als lokalen Extrempunkt, Wendepunkt, Sattelpunkt, welches nur auf Ableitungen der Funktion an genau dieser Stelle basiert und bei allen Funktionen greift:

Betrachten wir z.B.

,

sowie . Beide Funktionen sind beliebig oft differenzierbar mit für alle natürlichen Zahlen . Funktion hat bei ein lokales (und globales) Minimum, während dort einen Sattelpunkt hat.


D.h., bisweilen sind Kenntnisse der Umgebung wirklich nötig, manchmal ist es auch ganz einfach praktischer (etwa bei irgendwelchen Monstertermen in den höheren Ableitungen).
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
An wen richtet sich jetzt die Frage? An mich oder Ascareth? Wenn man auf die Untersuchung der höheren Ableitungen verzichten will, kommt man zumindest mit dem VZW-Kriterium weiter.


sicher nicht an dich Augenzwinkern Ich wollte Ascareth nochmals etwas zum "Grübeln" geben.

Ich habe das früher gern gemacht um das Kriterium des VZW dem Schüler näher zu bringen.
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