Erwartungswert

12.07.2017, 20:02

gast1801

Erwartungswert

Meine Frage:
hallo , ich habe wieder folgende aufgabe gekriegt und habe dieses mal keine idee wie ich anfangen sollte

Nun werde eine faire Munze (mit moglichen Ergebnissen K und Z) 42-mal (unabhangig)hintereinander geworfen und die Ergebnisse in einer Reihe notiert. X gebe an, wieviele K es in der Reihe gibt, auf die (ohne Unterbrechung) zwei weitere K?s folgen. Berechne E(X).

Meine Ideen:
um ehrlich zu sein ,ich habe keinen Einsatz.
das einzige was ich weiss ist das
$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ K,Z\right\}^{42} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p\left(\omega\right) = \frac{1}{2^{42} } \end{eqnarray*}$
Die definition des erwartungswert kenne ich.

danke schön im vorraus für die wunderschöne Antworten

12.07.2017, 20:12

HAL 9000

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Das ist nicht schwer, wenn man den Hebel richtig ansetzt: Bei insgesamt $\begin{align*} N \end{align*}$ Würfen (hier: N=42) ist $\begin{align*} X= \sum_{j=1}^{N-2} Y_j \end{align*}$ mit den Indikatorvariablen

$\begin{align*} Y_j = \begin{cases} 1 &\;\mbox{falls die Würfe $j$, $j+1$ und $j+2$ jeweils K sind}\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

Dann ist $\begin{align*} E(X) = \sum_{j=1}^{N-2} E(Y_j) = \ldots \end{align*}$

13.07.2017, 01:12

gast1801

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Danke schön für die Antwort , aber ich habe eine Frage , wenn ich deine formel zum beispiel bei $\begin{eqnarray*} N = 4 \end{eqnarray*}$ einsetze , dann habe ich $\begin{eqnarray*} X= \sum\limits_{j=1}^{2} Y_{j} \end{eqnarray*}$ . aber irgendwiekomm 3 nicht raus .
eigentlich müsste 3 da kommen
für die fälle
KKKK
KKKZ
ZKKK.

bin jezt noch mehr verwirrt traurig

13.07.2017, 07:26

HAL 9000

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Drücke dich mal bitte verständlich aus. Im Fall $\begin{align*} N=4 \end{align*}$ gibt es $\begin{align*} 2^4=16 \end{align*}$ Wurffolgen, wobei folgende $\begin{align*} X \end{align*}$ -Werte herauskommen:

KKKK : X=2
KKKZ : X=1
ZKKK : X=1
sonst : X=0

Dabei habe ich jeweils die K markiert, auf die zwei weitere K folgen.

Erwartungswert ist hier $\begin{align*} E(X) = \frac{2+1+1}{16} = \frac{1}{4} \end{align*}$ . Was bitte willst du mit deiner "3" ? verwirrt

13.07.2017, 19:36

gast1801

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danke schön für deine Antwort.
Ich weiß was eine Indikatorfunktion ist aber ich verstehe deine summe $\begin{eqnarray*} X= \sum\limits_{j=1}^{N-2} Y_{j} \end{eqnarray*}$ nicht. Ich weiß nicht wie ich damit die Anzahl der K finden wird ,sodass zwei weitere K's folgen

13.07.2017, 19:53

gast1801

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Sorry ich habe ein denkfehler gemacht. Ich dachte es wurde nach der Anzahl der k die 2 weitere K daneben haben. Aber es wurde nur nach dem erwartungswert gefragt.
also es gilt
$\begin{eqnarray*} E\left[X\right] = E\left[\sum\limits_{j=1}^{N-2} Y_{j}\right] = \sum\limits_{j=1}^{N-2}E\left[Y_{j} \right] = \sum\limits_{j=1}^{N-2} P(j) \end{eqnarray*}$

13.07.2017, 20:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von gast1801
Aber es wurde nur nach dem erwartungswert gefragt.

Eben.

Die vollständige Verteilung von $\begin{align*} Y \end{align*}$ ist erheblich schwerer zu ermitteln (aber auch nicht unmöglich).

Zitat:

Original von gast1801
$\begin{eqnarray*} E\left[X\right] = E\left[\sum\limits_{j=1}^{N-2} Y_{j}\right] = \sum\limits_{j=1}^{N-2}E\left[Y_{j} \right] = \sum\limits_{j=1}^{N-2} P(j) \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} P(j) \end{align*}$ ist m.E. eine unerklärte Bezeichnung, ich hätte da stattdessen $\begin{align*} P(Y_j=1) \end{align*}$ geschrieben, und dieser Wert ist gleich $\begin{align*} \frac{1}{8} \end{align*}$ .

13.07.2017, 21:24

gast1801

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Also $\begin{eqnarray*} P\left(Y_{j}= 1 \right) \end{eqnarray*}$ ist in anderen wörter die wahrscheinlichkeit dass, wir dreimal kopf haben und das ist nach dem laplace experiment gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ .
Deswegen hast du gesagt dass es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ ist. oder?
also dann gilt $\begin{eqnarray*} E\left[X\right] = E\left[\sum\limits_{j=1}^{N-2} Y_{j}\right] = \sum\limits_{j=1}^{N-2}E\left[Y_{j} \right] = \sum\limits_{j=1}^{N-2} P(Y_{j} = 1) \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{40} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ = 5
oder?

13.07.2017, 21:38

HAL 9000

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Genauso ist es. Freude

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Auch wenn es hier nicht benötigt wird, habe ich mal als Bonus die exakte Verteilung von $\begin{align*} X \end{align*}$ im Fall $\begin{align*} N=42 \end{align*}$ berechnet:

$\begin{align*} \begin{array}{|r|r|} \hline k & 2^{42}\cdot P(X=k) \hline 0 & 148\,323\,355\,432 1 & 328\,303\,658\,020 2 & 485\,546\,110\,323 3 & 578\,572\,133\,666 4 & 597\,433\,183\,219 5 & 554\,919\,010\,736 6 & 474\,072\,239\,613 7 & 377\,976\,675\,650 8 & 284\,123\,645\,817 9 & 202\,859\,133\,444 10 & 138\,343\,376\,861 11 & 90\,506\,629\,062 12 & 56\,995\,986\,733 13 & 34\,644\,656\,744 14 & 20\,371\,066\,435 15 & 11\,607\,900\,438 16 & 6\,419\,287\,711 17 & 3\,449\,234\,412 18 & 1\,802\,478\,173 19 & 916\,741\,694 20 & 454\,032\,315 21 & 219\,066\,896 22 & 102\,991\,377 23 & 47\,176\,818 24 & 21\,064\,819 25 & 9\,161\,664 26 & 3\,875\,056 27 & 1\,600\,320 28 & 642\,054 29 & 247\,808 30 & 94\,798 31 & 34\,980 32 & 11\,752 33 & 4\,244 34 & 1\,471 35 & 362 36 & 131 37 & 48 38 & 5 39 & 2 40 & 1 \hline\end{array} \end{align*}$

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