Zeige wann Unendliches Produkt konvergiert

16.07.2017, 15:33

Anni93

Zeige wann Unendliches Produkt konvergiert

Meine Frage:
Guten Tag zusammen!

Ich habe Probleme mit dem folgenden Beweis:

Zeige: Dass, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n} |^2 \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} a_{n} \in \mathbb C, a_{n} \neq -1 \end{eqnarray*}$ für alle n aus N, dann konvergiert das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{n} (1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert ungleich 0, genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meine Ideen:
Was ich bisher so überlegt habe ist:
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{n} (1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{n} \in \mathbb C, a_{n} \neq -1 \end{eqnarray*}$ konvergiert ja auf Grund der Stetigkeit vom Logarithmus genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} log(\prod\limits_{n=1}^{n} (1+a_{n} ))=\sum\limits_{n=1}^{n} log(1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Und dies ist ja wiederum genau dann erfüllt wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n}| \end{eqnarray*}$ konvergiert. (dies haben wir bereits im Skipt gezeigt)
Nun verstehe ich nich ganz wie ich das noch mit der Bedingung " $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert " in Verbindung setzen kann?

Zusätzlich haben wir, meine ich, irgendwann in Analysis 1 oder 2 auch schon gezeigt gehabt das wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n}| \end{eqnarray*}$ konvergiert, das auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n} |^2 \end{eqnarray*}$ .

Oder gibt es einen einfacheren Weg? Bin ich auf dem falschen Weg?
Habe auch in anderen Internet Beiträgen mal Beweise von ähnlichen Sätzen gesehen mit der Taylorreihe des Logarithmus, jedoch habe ich diese nicht wirklich verstanden...

16.07.2017, 17:04

Dustin

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Hi Anni,
jetzt mus ich dich erstmal selber was fragen:

1. Die Reihen und Produkte sollen wahrscheinlich alle bis unendlich (und nicht bis n) laufen?!

2. Habt ihr im Skript wirklich gezeigt, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} log(1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ mit komplexen $\begin{eqnarray*} a_n \neq -1 \end{eqnarray*}$ genau dann konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n}| \end{eqnarray*}$ konvergiert? Im Komplexen hat der Logarithmus nämlich leider keine so schönen Eigenschaften wie im Reellen, insbesondere ist $\begin{eqnarray*} \log (xy)=\log (x) +\log (y) \end{eqnarray*}$ nicht ohne weiteres anwendbar!

LG Dustin

16.07.2017, 18:30

Anni93

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Danke das du mich drauf Aufmerksam machst!

1. Es sollen natürlich alle Reihen und Produkte bis unendlich laufen.

2. Was im Skript steht ist: Das unendliche Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ konvergiert absolut genau dann, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Entschuldige die Verwirrung.

16.07.2017, 19:00

Dustin

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Gern doch

Zitat:

2. Was im Skript steht ist: Das unendliche Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ konvergiert absolut genau dann, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Für reelle oder komplexe $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

16.07.2017, 19:28

Dustin

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Und geht es (bei dem Satz im Skript) wirklich auch bei dem Produkt um absolute Konvergenz?

16.07.2017, 22:11

Anni93

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Mein Skript besitze ich leider nur in Handschriftlicher Form, aber um das ganze besser zu verdeutlichen habe ich zum Glück dieselbe Aussage in einem Skript im Internet gefunden, siehe Bilder.

17.07.2017, 16:03

HAL 9000

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Das Skript gibt die Richtung auch für deinen Beweis vor, aber du wirst die Abschätzung noch etwas verfeinern müssen: Basierend auf der Potenzreihe $\begin{align*} \log(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + O(u^3) \end{align*}$ wird man wohl auch ein $\begin{align*} \varepsilon'>0 \end{align*}$ finden mit

$\begin{align*} \left|\log(1+u)-u \right| < |u|^2 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} |u|<\varepsilon' \end{align*}$

Betrachten wir nun $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 < \infty \end{align*}$ . Dann gibt es ein $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sum_{n=n_0}^{\infty} |a_n|^2 < \varepsilon'^2 \end{align*}$ , speziell ist dann auch $\begin{align*} |a_n|<\varepsilon' \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ .

Zur Beweisrichtung " $\begin{align*} \sum a_n \end{align*}$ konvergiert --> $\begin{align*} \prod (1+a_n) \end{align*}$ konvergiert":

Dann haben wir für beliebige $\begin{align*} m>k\geq n_0 \end{align*}$

$\begin{align*} \left| \log\left( \prod_{n=k}^m (1+a_n) \right) \right| = \left| \sum_{n=k}^m \log(1+a_n) \right| \leq \left| \sum_{n=k}^m (\log(1+a_n)-a_n) \right| + \left| \sum_{n=k}^m a_n \right| \leq \sum_{n=k}^m |a_n|^2 + \left| \sum_{n=k}^m a_n \right| \end{align*}$ .

Auf dem Weg kommt man zum Ziel.

Für die andere Beweisrichtung müsste es mit

$\begin{align*} \left| \sum_{n=k}^m a_n \right| \leq \left| \sum_{n=k}^m (\log(1+a_n)-a_n) \right| + \left| \sum_{n=k}^m \log(1+a_n) \right| \leq \sum_{n=k}^m |a_n|^2 + \left| \sum_{n=k}^m \log(1+a_n) \right| \end{align*}$

ganz ähnlich klappen.

17.07.2017, 16:05

Dustin

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Liebe Anni93,
da bin ich wieder. Ich hatte das Gefühl, dass ich eine Nacht über diese Aufgabe schlafen muss Augenzwinkern

Diese Definition der Konvergenz und der absoluten Konvergenz eines unendlichen Produkts war mir nicht geläufig (ich hatte einfach angenommen "alles genauso wie bei Reihen"), und bevor ich noch irgendeinen Quatsch gepostet hätte, lieber alles nochmal durch den Kopf gehen lassen Augenzwinkern

Wie man ja an deinem anderen Unendliches-Produkt-Thread sieht, geht es offenbar nicht nur mir so Big Laugh

Also:
So wie ich das jetzt verstanden habe, ist Folgendes bekannt:

1. Das unendliche Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ konvergiert absolut genau dann, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

und 2. Das unendliche Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \log (1+a_{n}) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Zu zeigen: Dass, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n} |^2 \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} a_{n} \in \mathbb C, a_{n} \neq -1 \end{eqnarray*}$ für alle n aus N, dann konvergiert das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty} (1+a_{n} ) \end{eqnarray*}$ gegen einen Grenzwert ungleich 0, genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

So. Gib mir 15 Minuten, dann kommt noch was hoffentlich Hilfreiches von mir smile

17.07.2017, 16:06

Dustin

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Oder so natürlich Augenzwinkern

17.07.2017, 20:44

Anni93

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Super, Danke euch beiden für die tolle Hilfe !

Dustin du hast auch schon mein Problem im anderen Tread angesprochen, wäre dieser Beweis nicht auch direkt passend dazu, dass es also keine:
1. Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ gibt die konvergiert, aber das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ dann nicht.
und
2. Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ gibt das konvergiert, aber die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ dann nicht.

Wobei wohlgemerkt der Beweis ja nur davon spricht das das Produkt gegen einen Grenzwert ungleich 0 geht. Allgemein gibt es ja aber konvergente Produkte die den Grenzwert 0 haben dürfen.
Somit könnte "2." doch möglich sein oder nicht?
Bin nur grad bisher noch nicht im stande gewesen dazu ein Beispiel zu finden verwirrt

17.07.2017, 20:56

HAL 9000

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Nun, der Beweis zeigt zumindest eins:

Wenn es solche Beispiele gibt, dann mit $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 = \infty \end{align*}$ . Augenzwinkern

------------------------------------------

Und da haben wir eins, für Punkt 1: Betrachten wir

$\begin{align*} a_{2k-1} = -\frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{align*}$
$\begin{align*} a_{2k} = \frac{1}{\sqrt{k+1}} \end{align*}$ .

Dann ist $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n = 0 \end{align*}$ und

$\begin{align*} \prod_{n=1}^{2m} = \prod_{k=1}^{m} \left(1-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right) = \prod_{k=1}^{m} \left(1-\frac{1}{k+1}\right) = \frac{1}{m+1} \to 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} m\to\infty \end{align*}$ ,

also nach deiner Definition NICHT konvergent.

Für Punkt 2 müssen wir wohl ins "echt" komplexe ausweichen. Dazu muss man das Beispiel für Punkt 1 nur ein klein wenig variieren. Augenzwinkern

17.07.2017, 21:06

Dustin

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Zitat:

Dustin du hast auch schon mein Problem im anderen Tread angesprochen, wäre dieser Beweis nicht auch direkt passend dazu, dass es also keine:
1. Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ gibt die konvergiert, aber das Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ dann nicht.
und
2. Produkt $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty } (1 + a_{n}) \end{eqnarray*}$ gibt das konvergiert, aber die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ dann nicht.

Das kann eigentlich nicht sein, denn sonst würde in der Aufgabenstellung die Zusatzbedingung, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n} |^2 \end{eqnarray*}$ konvergieren soll, keinen Sinn ergeben. Das deutet allerdings darauf hin, dass Gegenbeispeile sehr speziell sein müssen, sodass diese Zusatzbedingung eben nicht erfüllt ist.

Zitat:

Wobei wohlgemerkt der Beweis ja nur davon spricht das das Produkt gegen einen Grenzwert ungleich 0 geht. Allgemein gibt es ja aber konvergente Produkte die den Grenzwert 0 haben dürfen.

Das ist aber nach dem, was ich mir inzwischen über unendliche Produkte angeschaut habe, sowieso ein sehr spezieller Fall, den man durch eine ziemlich umständliche Definition eines unendlichen Produkts fast ausschließen will. Nach Definition kann ein unendliches Produkt nur gegen 0 konvergieren, wenn eine endliche Anzahl von Faktoren gleich Null ist (und auch dann nur, wenn auch das "Restprodukt" nach der letzten Null noch konvergiert). Also ist es nicht verwunderlich, dass dieser "komische" Spezialfall in der Aufgabenstellung einfach ausgeschlossen wird, um Komplikationen zu vermeiden.

17.07.2017, 21:07

Dustin

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Mann! Wieder zu spät Big Laugh

17.07.2017, 21:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Für Punkt 2 müssen wir wohl ins "echt" komplexe ausweichen. Dazu muss man das Beispiel für Punkt 1 nur ein klein wenig variieren. Augenzwinkern

Das war Unsinn, was ich im Auge hatte war folgendes:

$\begin{align*} a_{2k-1} = -\frac{i}{\sqrt{k+1}} \end{align*}$
$\begin{align*} a_{2k} = \frac{i}{\sqrt{k+1}} \end{align*}$ .

Das ist aber kein Gegenbeispiel zu 2, sondern ein weiteres zu 1, und zwar eines mit $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n = 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n) = \infty \end{align*}$ .

Und nun ein "echtes" Gegenbeispiel zu 2 - etwas schwierig beschreibbar, aber in der Sache sehr einfach zu rechnen, ohne komplizierte Abschätzungen:

$\begin{align*} \frac{1}{k} \end{align*}$ und $\begin{align*} -\frac{1}{k+1} \end{align*}$ jeweils im Wechsel, und das ganze $\begin{align*} k \end{align*}$ -mal wiederholt, und das für $\begin{align*} k=1,2,\ldots \end{align*}$

Mit Indizes schwierig zu schreiben, aber ich versuch's mal:

$\begin{align*} a_{k^2-k+2j-1} = \frac{1}{k} \end{align*}$ und $\begin{align*} a_{k^2-k+2j} = -\frac{1}{k+1} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,2,\ldots \end{align*}$ und $\begin{align*} j=1,\ldots,k \end{align*}$

Dann ist $\begin{align*} \prod_{n=1}^{2m} (1+a_n) = 1 \end{align*}$ und

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{m^2+m} a_n = \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^k \left(a_{k^2-k+2j-1}+a_{k^2-k+2j}\right) = \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^k \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^m \frac{1}{k+1} \to \infty \end{align*}$ für $\begin{align*} m\to\infty \end{align*}$

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