Ist ein Ringhomomorphismus immer injektiv ?

16.07.2017, 21:30

Mathematicax33

Ist ein Ringhomomorphismus immer injektiv ?

Meine Frage:
Hallo,
sei f:R--->S Ringhomom. mit R,S kommutative Ringe

Meine Ideen:
Ich bin etwas verwirrt weil ich irgendwie in Erinnerung hatte dass jeder Ringhom. Injektiv ist.
Macht aber kein Sinn, denn der Homomorphiesatz für Ringe will ja quasi für injektivität "sorgen" indem es von R/ker f ausgeht.
Sprich ein Ringhomom. muss nicht zwingend Injektiv sein oder ?
War das doch eher auf Körper bezogen ? Sprich Homomorphismen über Körper ? Reicht es dann für die injektivität dass R ein Körper ist und S ein komm. Ring oder müssen beide sowohl R als auch S Körper sein damit die Abb. Injektiv ist ?

Hoffe jemand kann mir helfen
LG

16.07.2017, 22:12

Dustin

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Hi,
ich weiß zwar auch nicht viel über dieses Thema, aber wikipedia ist dein Freund xD Und dort steht Folgendes:

Zitat:

Ich bin etwas verwirrt weil ich irgendwie in Erinnerung hatte dass jeder Ringhom. Injektiv ist.

Nö.

Zitat:

Macht aber kein Sinn, denn der Homomorphiesatz für Ringe will ja quasi für injektivität "sorgen" indem es von R/ker f ausgeht.

So kann man es in etwa ausdrücken, ja.

Zitat:

War das doch eher auf Körper bezogen ? Sprich Homomorphismen über Körper ?

Genau.

Zitat:

Reicht es dann für die injektivität dass R ein Körper ist und S ein komm. Ring oder müssen beide sowohl R als auch S Körper sein damit die Abb. Injektiv ist ?

Homomorphismen zwischen unterschiedlichen algebraischen Strukturen gibt es nicht! Wenn also R ein Körper ist, dann auch S.

LG Dustin

16.07.2017, 22:20

Clearly_wrong

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Man kann durchaus einen Körper als Ring auffassen und dann Homomorphismen in andere Ringe betrachten.

Man muss hier ein bisschen unterscheiden. Wenn ein Ring nicht notwendigerweise eine Eins hat, dann müssen auch die strukturerhaltenden Abbildungen der Ringe nicht die Eins auf die Eins abbilden. Dann kann man auch einen Körper immer auf den Nullring abbilden und das ist natürlich nicht injektiv.

Wenn allerdings eine Eins zur Struktur des Ringes gehört, dann muss für einen Ringhomomorphismus auch $\begin{align*} f(1) = 1 \end{align*}$ gelten. Dann folgt aber aus $\begin{align*} f(x)f(x^{-1}) = f(1) = 1 \end{align*}$ für jedes $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ im Körper, dass $\begin{align*} f(x) \neq 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ , also muss $\begin{align*} f \end{align*}$ injektiv sein.

Ein Beispiel für einen nicht injektiven Ringhomomorphismus wäre das folgende:

Sei $\begin{align*} \varphi : [0,1]\to [0,2],x\mapsto x \end{align*}$ und $\begin{align*} T:C[0,2]\to C[0,1], f\mapsto f\circ \varphi \end{align*}$ . Man nennt $\begin{align*} T \end{align*}$ den Koopmannoperator zu $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ und das ist sogar ein Algebrenhomomorphismus. Offensichtlich liegt jede Funktion, die auf $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ verschwindet im Kern von $\begin{align*} T \end{align*}$ .

16.07.2017, 23:50

Mathematicax33

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Zitat:

Original von Clearly_wrong

Wenn allerdings eine Eins zur Struktur des Ringes gehört, dann muss für einen Ringhomomorphismus auch $\begin{align*} f(1) = 1 \end{align*}$ gelten. Dann folgt aber aus $\begin{align*} f(x)f(x^{-1}) = f(1) = 1 \end{align*}$ für jedes $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ im Körper, dass $\begin{align*} f(x) \neq 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ , also muss $\begin{align*} f \end{align*}$ injektiv sein.

Wir betrachten immer Ringe mit Einselement. Sprich dann ist auch wirklich jeder Ringhomom. Injektiv ?

17.07.2017, 01:01

Dustin

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Nein. Clearly_wrong sprach von dem Fall, dass der Urbild-Ring (also der Ring R in deiner Notation) gleichzeitig ein Körper ist (und damit jedes Element ein Inverses hat, mit dem Clearly_wrong dann auch argumentiert). Er wollte mich damit (wahrscheinlich) nur korrigieren, weil ich behauptet habe, Homomorphismen von Körper in Ringe gäbe es nicht. Aber da jeder Körper auch ein Ring ist, gibt es also auch Ringhomomorphismen f: R --> S, wenn R ein Körper und S ein Ring mit Eins ist, und in diesem Fall ist ein solcher Ringhom. auch immer injektiv. Sorry also dafür, dass ich das zuerst nicht bedacht hatte!

Unabhängig davon sind aber auch Ringhomomorphismen zwischen Ringen mit Eins nicht notwendigerweise injektiv! Ein einfaches Gegenbeispiel wäre $\begin{eqnarray*} R=\mathbb Z, S=\mathbb Z /2\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wobei f alle ungeraden ganzen Zahlen auf 1 und alle geraden ganzen Zahlen auf 0 abbilden soll. Dann ist f ein Ringhomomorphismus, aber offensichtlich nicht injektiv, da z.B. f(2)=f(4)=0 ist.

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