Hauptachsentransformation

16.07.2017, 22:49	DerMaschbaustudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation Ich habe eine Funktion der Form $\begin{eqnarray} 13x²-32xy+37y²-45=0 \end{eqnarray}$ gegeben. Nach Überführung in die erweiterte quadratische Form habe ich gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13 & -16 \\ -16 & 37 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -45=0 \end{eqnarray}$ Aus der Berechnung $\begin{eqnarray} det(A-\lambdaI)=0 \end{eqnarray}$ bekomme ich die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda_1=45 \end{eqnarray}$ & $\begin{eqnarray} \lambda_2=5 \end{eqnarray}$ Die Berechnung der Eigenvektoren $\begin{eqnarray} (A-\lambdaI)x=0 \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} x_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Mein normierter Eigenvektor lautet damit $\begin{eqnarray} v_n= \frac{1}{\sqrt{5}} \end{eqnarray}$ . Daraus kann ich R zusammensetzen: $\begin{eqnarray} R= \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Determinante von R führt zum Ergebnis von 1, also müssen die Eigenvektoren nicht vertauscht werden. So kann ich meine Eigenwerte einsetzen zu der Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 45 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -45=0 \end{eqnarray}$ Das ergibt: $\begin{eqnarray} 45x²-5y² - 45=0 \|+45<br /> 45x²-5y²=45 \|:45<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x²}{1}- \frac{y²}{9}=1<br /> \frac{x²}{\sqrt{1}²}- \frac{y²}{\sqrt{9}²}=1<br /> \end{eqnarray}$ Das ergibt die Form: $\begin{eqnarray} \frac{x²}{a²}-\frac{y²}{b²}=1 \end{eqnarray}$ Also liegt hier eine Hyperbel vor. Laut Musterlösung müsste es aber eine Ellipse der Form $\begin{eqnarray} \frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1 \end{eqnarray}$ sein. Dies wäre aber nur gegeben, wenn ich die Eigenvektoren in R vertauschen müsste, auf Grund einer det(R)=-1, die hier aber nicht vorliegt.
16.07.2017, 23:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation Woher kommt das Minuszeichen? $\begin{eqnarray} 45x²\textcolor{red}{-}5y² - 45=0 \end{eqnarray}$
16.07.2017, 23:29	DerMaschbaustudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ne gute Frage... Danke sehr, habe ich wahrscheinlich irgendwie übersehen oder fälschlicherweise da rein gebracht. dann ändert sich natürlich die Form zu $\begin{eqnarray} \frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1 \end{eqnarray}$ . und damit wäre es eine eine Ellipse.

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